超幾何函數變換公式的一個有趣應用

02-03

這是我的第一篇專欄文章，正如 "A Garden of Special Functions" 所表達的那樣，在這裡，我僅打算將注意力放在一些有關特殊函數的有趣例子和簡單應用上。

今天，讓我們從下面這個略帶組合風味的簡單公式開始：

$frac{1}{sqrt{1-2left(x+yright)+left(x-yright)^2}}=sum_{m,n=0}^{infty}binom{m+n}{n}^2x^m y^n.$

這個學期，我導師介紹了多複分析在特殊函數論中的一些應用，而以上這條公式便是源自課上的一個案例。要推導這條公式，一種方式是巧妙構造一個特殊的二重圍道積分，不過就我而言，我更喜歡用一些超幾何函數理論中的結果來推導。

首先，我們注意到二重級數中二項式係數的平方可以表示成：

$binom{m+n}{n}^2=frac{(m+n)!}{n!m!}frac{(m+n)!}{n!m!}n=frac{(1)_{m+n}(1)_{m+n}}{(1)_m(1)_n}frac{1}{m!}frac{1}{n!}.$

於是，二重級數就可以表示為：

$sum_{m,n=0}^{infty}binom{m+n}{n}^2 x^m y^nn=sum_{m,n=0}^{infty}frac{(1)_{m+n}(1)_{m+n}}{(1)_m (1)_n} frac{x^m}{m!} frac{y^n}{n!}n=nF_{4}left[1;1;1,1;x,yright].$

這裡的 $F_4$ 就是著名的 Appell 超幾何函數（Appell 超幾何函數共有四個，在後文中，我們還會遇到 $F_2$ ），其具體的定義為：

$F_{4}[alpha,beta;gamma,gamma;x,y]=sum_{m,n=0}^{infty}nfrac{(alpha)_{m+n}(beta)_{m+n}}{(gamma)_m(gamma)_n}frac{x^m}{m!}frac{y^n}{n!} ~~ nleft(|x|^{frac{1}{2}}+|y|^{frac{1}{2}}<1right).$

這樣一來，我們十分關心的收斂性問題也在 Appell 超幾何函數的框架下得到了解決。所以，我們一開始所考慮的公式，現在就變成了：

$frac{1}{sqrt{1-2left(x+yright)+left(x-yright)^2}}n=F_{4}left[1;1;1,1;x,yright].n$

這個公式又可以稱為 Reduction Formula。在超幾何函數理論中一個十分重要的分支就是考慮什麼時候一個複雜的超幾何函數可以約化為一個相對簡單的超幾何函數或者初等函數。這裡， $F_4$ 是一個雙變數的超幾何函數，但是在特殊的參數選取下，它具有一個初等函數的形式。

現在讓我們來考慮如何證明它。我們需要兩個結論：

$F_4left[alpha;beta;gamma,alpha-gamma+1; u(1-v), v(1-u)right]n=nF_2left[alpha, beta,beta;gamma,alpha-gamma+1;u,vright]n ~ ~ ntext{(Baileys formula)}$

和

$F_2left[alpha,beta,beta;gamma,beta;u,vright]=left(1-vright)^{-alpha}n{}_{2}F_{1}left[begin{matrix}alpha,betangammaend{matrix};frac{u}{1-v}right],$

其中， ${}_2F_1$ 是我們非常熟悉的 Gauss 超幾何函數，而 $F_2$ 是另一個 Appell 超幾何函數：

$F_{2}[alpha,beta, beta;gamma,gamma;x,y]=sum_{m,n=0}^{infty}nfrac{(alpha)_{m+n}(beta)_{m}(beta)_n}{(gamma)_m(gamma)_n}frac{x^m}{m!}frac{y^n}{n!}n~~~~nleft(|x|+|y|<1right).$

接著，我們有：

$begin{align}nF_{4}[1;1;1,1;u(1-v),v(1-u)]n&=F_2[1,1,1;1,1;u,v]notagn&=(1-v)^{-1}{}_{2}F_{1}left[begin{matrix}1,1n1end{matrix};frac{u}{1-v}right]notagn&=(1-v)^{-1}left(1-frac{u}{1-v}right)^{-1}notagn&=(1-v)^{-1}frac{1-v}{1-v-u}notagn&=frac{1}{1-v-u}.nend{align}$

最後，令 $x=u(1-v), y=v(1-u)$ ，並考慮到有

$begin{align}nleft(1-u-vright)^2n&=1-2u-2v+4uv+u^2+v^2-2uv=1-2left(u+v-2uvright)+left(u-vright)^2notagn&=1-2left(x+yright)+left(x-yright)^2,nend{align}$

我們便得到了想要證明的公式。怎麼樣？很簡單吧 ~ ~

故事到這裡還沒有結束。因為根據上面的證明，我們可以很輕易地得到一個推廣，也就是：

$left[1-2left(x+yright)+left(x-yright)^2right]^{-beta}n=sum_{m,n=0}^{infty}nfrac{(2beta)_{m+n}}{(beta+frac{1}{2})_{m+n}}binom{beta-frac{1}{2}+n+m}{m}nbinom{beta-frac{1}{2}+m+n}{n} x^m y^n.$

可以看到，雖然和原先的公式相比喪失了那種簡潔性，但是基本的樣子得以保留，而且還增加了一個自由參數 $beta$ 。

最後，以上的種種跡象表明，我們可以問這樣一個問題：

多重級數 $sum_{n_1,cdots, n_k=0}^{infty}nbinom{n_1+cdots+n_k}{n_1,cdots,n_k}^2nu_1^{n_1}cdots u_k^{n_k}$ 是否可以有限表示成初等函數？

進一步地，如果我們引入 Lauricella 超幾何函數（ $F_4$ 的一種推廣）：

$F_{C}^{(k)}[a,b;c_1,cdots,c_k;x_1,cdots,x_k]=nsum_{n_1,cdots, n_k=0}^{infty}frac{left(aright)_{n_1+cdots+n_k}left(bright)_{n_1+cdots+n_k}}{left(c_1right)_{n_1}cdots left(c_kright)_{n_k}}nfrac{x_1^{n_1}}{n_1!}cdotsnfrac{x_k^{n_k}}{n_k!}$ $left(sqrt{|x_1|}+cdots+sqrt{|x_k|}<1right)$

則以上問題變為：

$F_{C}^{(k)}nBig[1, 1; 1, cdots, 1; u_1,cdots,u_kBig]$ 是否可以約化為初等函數？

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第一次寫專欄，不知內容和行文是否合適，在這裡先行感謝大家的閱讀和思考。