橋樑中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（9）

02-03

在學習數學與力學時，我們要注意到，對於一個工程問題，哪怕就是一個最簡單的梁彎曲問題，我們都很難尋找到一個精確的數學理論來描述並解決他。當分析一個具體的工程問題時，我們通常都會遵循這樣一個基本流程：

1、對具體而複雜的工程問題進行分析，抓住主要控制因素，提出某些簡化或假設，據此抽象出工程問題所對應的數學與力學模型；

2、利用數學力學方法求解該模型；

3、對求解結果的合理性進行分析，並運用於解決實際問題。

在前面的文章中，無論是採用力的平衡觀點還是用勢能最小化原理來推導梁彎曲問題的控制微分方程都是基於一些假定的。這些假定適用於橋樑工程中的多數情況。然而，在現實工程中，也有可能遇到這些假定的前提條件不成立的情況。對於一個橋樑工程師而言，有必要了解這些假定成立的前提條件，以便有針對性的採取相應的措施。

1.10 小變形假設

小變形假設幾乎遍布著土木工程的各個領域，這是基於一個基本的認識或者設計理念：對於具有足夠使用功能的結構，其在荷載作用下發生的變形與構件尺度相比均應該比較小或者應該設計得比較小，否則將影響其正常使用。因此，我們假設梁體在彎曲時，轉角，撓度與曲率均是一個足夠小量。

因此，在1.1節中，我們做出了如下假設：

$dsapprox dx$ （1-94）

$kappa=frac{1}{rho}=frac{dtheta}{dx}$ （1-95）

$thetaapprox text{tan}theta=frac{dy}{dx}$ （1-96）

由此，我們得到了曲率與撓度的幾何關係：

$kappa=frac{d^2y}{dx^2}$ （1-97）

然而，一方面現實工程要求橋樑工程師利用新材料與新結構形式不斷的挑戰大跨越能力，另一方面高強材料的使用使得結構設計逐漸有輕薄化的趨勢。這兩方面的因素，都將挑戰小變形假設。因此，在橋樑工程中比較常見的柔性結構（例如：大跨度橋樑或高墩），小變形假設是否成立需要得到恰當的考慮。

對於更一般的情況，上述的小變形假設應該做出相應的修正：

$ds=sqrt{dx^2+dy^2}$ (1-98)

$theta=text{arctan}theta$ (1-99)

則曲率方程可以寫為：

$kappa=frac{1}{rho}=frac{dtheta}{ds}=frac{d(text{arctan}y)}{dx}frac{dx}{ds}$ (1-100)

將(1-94)式，左右除以 $dx$ ，得到：

$frac{ds}{dx}=sqrt{1+(y)^2}$ (1-101)

而，根據反三角函數的導數計算方法，可以得到

$frac{d}{dx}(text{arctan}y)=frac{y}{1+(y)^2}$ (1-102)

將(1-101)與(1-102)代入(1-100)，則得到

$kappa=frac{1}{rho}=frac{y}{[1+(y)^2]^{3/2}}$ (1-103)

這就是曲率方程的一般形式。對比式子（1-14）與（1-103），可以發現當撓曲引起的轉角 $y$ 很小時，式子(1-99)可以退化為式(1-14)。

在這種情形下，梁的彎曲微分方程寫為

$EIfrac{y}{[1+(y)^2]^{3/2}}=M(x)$ (1-104a)

$frac{d^2}{dx^2}left{EI(x)frac{y}{[1+(y)^2]^{3/2}}right}=q(x)$ (1-104b)

註：幾何非線性問題是個複雜且困難的問題，純彎曲梁的曲率非線性（式1-103）是幾何非線性的其中一種表現形式。