橋樑中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（8）

02-03

1.9 歐拉伯努利梁平面梁單元

1.8節中，利用最小勢能原理，在不討論具體力學問題的情況下，推導了連續固體介質中的通用有限元列式。這種推導方法相較於直接剛度法更具有普適性。有限元列式推導的關鍵也顯而易見：網格的離散，位移差值函數(形函數） $N$ 的選擇，單元剛度矩陣的合成 $K_e$ 的合成。

梁屬於典型的線結構，網格的離散上只需要沿著梁體走向劃分成若干個線單元，根據線單元上的節點位移，選擇插值函數獲得單元的變形函數。觀察彎曲梁的應變表達式(1-48）含有位移 $u$ 的二階導數，而梁的角位移 $u$ 應該要保持整體連續性。因此在選擇形函數時要考慮到節點位移的連續與節點位移的一階導數的連續，這就是所謂的Hermite插值。

任意選擇單元 $e$ ,設其起止點分別是 $delta_1$ 與 $delta_2$ 。以 $delta_1$ 位0點，令 $x$ 為自 $delta_1$ 到 $delta_2$ 的位置坐標，建立局部坐標系，單元長度假設為 $l$ 。在單元 $e$ 上做位移函數 $u(x)$ 的三次插值：

$Q(x)=a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ (1-86a)

$Q(0)=u_1;Q(l)=u_2;Q(0)=u_1;Q(l)=u_2$ (1-86b)

其中 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 為待定係數，其取值由起止點的位移信息( $u_1,u_2,u_1,u_2$ )決定。

為了與（1-78）式中的位移插值形式相對應，我們將式（1-86）改寫為：

$Q(x)={varphi_1(x), varphi_2(x), phi_1(x), phi_2(x)} left{u_1,u_2,u_1,u_2right}^T$ (1-87a)

$left{ begin{matrix}nn varphi_1(0)=1,varphi_1(l)=varphi_1(0)=varphi_1(l)=0 nn varphi_2(l)=1,varphi_2(0)=varphi_2(0)=varphi_2(l)=0n n psi_1(0)=1,psi_1(0)=psi_1(l)=psi_1(l)=0n psi_2(l)=1,psi_2(0)=psi_2(l)=psi_2(0)=0nend{matrix}right.$ (1-87b)

其中 $varphi_1(x),varphi_2(x),psi_1(x),psi_2(x)$ 均為三次多項式。

由此，很容易解出：

$left{begin{aligned}nvarphi_1(x)&=left(1+frac{2x}{l}right)left(frac{x-l}{l}right)^2nvarphi_2(x)&=left(1-2frac{x-l}{l}right)left(frac{x}{l}right)^2npsi_1(x)&=xleft(frac{x-l}{l}right)^2npsi_2(x)&=(x-l)left(frac{x}{l}right)^2nend{aligned}nright.$ (1-88)

由此，針對歐拉伯努利梁的位移插值可以寫出：

$uapprox Nu_n=[varphi_1,psi_1,varphi_2,psi_2][u_1,u_1,u_2,u_2]^T$ (1-89)

而根據1.8中的推導，單元剛度矩陣 $K_e=int_{V_e}B^TEBdV$ ，其中 $B=BN$ ， $B$ 是位移與應變的關係。對於歐拉伯努利梁而言，剛度矩陣格式可以寫為：

$K_e=int_{V_e}B^TEBdV=lint_0^1left(int_AB^TEBdAright)dx$ (1-90)

根據歐拉伯努利梁位移——曲率——應變的幾何關係，並將式（1-78）代入，有：

$varepsilon=uyapprox (Nu_n)y=(Ny)u_n$

則，若令 $xi=x/l$ ，則B可以寫為：

$B=[frac{12xi-6}{l^2},frac{6xi-4}{l},-frac{12xi-6}{l^2},frac{6xi-2}{l}]y$ (1-91)

將（1-91）代入式（1-90），歐拉伯努利梁在局部坐標系下的單元剛度矩陣為：

$K_e=lEint_Ay^2dAint_0^1B^TBdxi$ (1-92)

由此，將單元剛度 $K_e$ 寫成矩陣表達式為：

$K_e=EIbegin{bmatrix}nfrac{12}{l^3}&frac{6}{l^2}&-frac{12}{l^3}&frac{6}{l^2}nfrac{6}{l^2}&frac{4}{l}&-frac{6}{l^2}&frac{2}{l}n-frac{1I}{l^3}&-frac{6}{l^2}&frac{12}{l^3}&-frac{6}{l^2}nfrac{6}{l^2}&frac{2}{l}&-frac{6}{l^2}&frac{4}{l}nend{bmatrix}$ (1-93)

式（1-93）與結構力學中利用矩陣位移法得到單元剛度矩陣完全一樣。

橋樑數理-4：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（4）

橋樑數理-3：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（3）

橋樑數理-2：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（2）

橋樑數理-1：橋樑工程中的應用基礎數學之梁的彎曲問題（1）