車牌號與撲克牌

今天午飯時候無聊開了個腦洞：國內的車牌號是漢字加上6位數字或字母構成，那麼除去漢字部分，剩下的數字與字母有多少種排列是純粹由撲克牌構成並可以組成牌面？

車管所的放號規則總是改來改去的，例如第幾位到第幾位必須是幾個字母和幾個數字等等，不同年代（號段）規矩都不一樣。這裡的問題採取簡化版規則：

• 字元串長度固定6位
• 第一位必須是字母

• 最後一位必須是數字

• 字母數量最多3個

牌面是指：

• 單個字元包括2、3、4、5、6、7、8、9、J、Q、K、A
• 1後面是0的時候可以一起當做「10」，其它情況下不允許出現
• 最少五張牌（即「10」最多出現一次）
• 同一張牌禁止出現5次。

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有興趣自己算著玩的朋友可以暫停閱讀，算完跟我的答案比對一下看看。

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那麼下面開始計算。

首先第一位必須是字母，合法的字母只有J、Q、K、A四個，可以單獨摘出來最後算。

最後一位必須是數字，分為兩種情況討論。

一個是2、3、4、5、6、7、8、9的情況，此時要看中間四位。

一個是最後兩位為10的情況，此時要看中間三位。

前一種情況的中間四位有如下組合：

四個數字：8^4（數字內容）

三個數字+一個字母：8^3（數字內容）*4（字母內容）*4（排列順序）

兩個數字+「10」：8^2（數字內容）*3（排列順序）

兩個數字+兩個字母：8^2（數字內容）*4^2（字母內容）*6（排列順序）

一個數字+「10」+一個字母：8（數字內容）*4 （字母內容）*6（排列順序）

兩個字母+「10」：4^2（字母內容）*3（排列順序）。

共4096+8192+192+6144+192+48=18864種，最後一位的變化要再*8，但是同數字五連的組合要排除掉，也就是18864*8-8=150904種。

後一種情況的中間三位有如下組合：

三個數字：8^3（數字內容）

兩個數字+一個字母：8^2（數字內容）*4（字母內容）*3（排列順序）

一個數字+兩個字母：8（數字內容）*4^2（字母內容）*3（排列順序）

共512+768+384=1664種。

兩種情況加在一起，再算上第一位的4種變化，(150904+1664)*4=610272種。

順便一提，如果順子可以按同花計算的話，因為最多3個字母所以不可能出現10JQKA，可能出現的最大牌面是910JQK同花。例如「帝Q10K89」這樣的號碼，共36個。

如果順子不算同花，最大的牌面應該是四條9帶A。例如「帝AK9999」，能做出這個牌面的號碼共70個。

怎麼樣，你算出來了嗎？如果我算錯了，歡迎在評論區指正~

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題圖來源：images_of_money（CC-BY 2.0）

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