看了這篇文章你還不能理解對偶空間算我輸

說起對偶這個事情，小學我們就開始接觸了，萬萬沒想到到了大學又要接觸，這次這個東西出現在高等代數裡面，叫什麼「對偶空間」。正如你所知道的——這次接觸就像以前從來沒接觸過對偶一樣，簡直學得要死要活。但是，懷抱著為中華崛起而讀書的偉大理想，我們還是要堅持學習對偶這個概念。

說著說著我就忍不住念了兩句詩，兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。這兩句一看就是對偶，但要你說到底是怎麼對偶的，就不是那麼容易的了。

不知道大家發現問題所在了沒有，實際上我們判斷這兩個到底能不能對起來，其實不是直接判斷的。以兩個黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天為例，我們的判斷過程如下：

兩-數詞-一。個-量詞-行。

兩和X是不是一對我們之前是不知道的，是把兩和數詞作為一對，數詞和X作為一對後才知道的。也就是說，實際上我們先找出每個詞的對偶，得到整句話的一個對偶空間，再對偶回去，最終就可以得到一個自然同構的東西。

精簡一下，就是V對偶得到 V * ， V * 再對偶回去得到 V * *。

比如說V是個句子， 那V *就是這個句子所有詞的詞性， V * *（下句）是你根據 V *（詞性）對偶出來的東西。最終上下句具有標準的相同結構。

完美。

好的把V換成線性空間，那V *就是這個空間所有的線性映射， V * *就是你根據 V *再對偶一遍。V和 V * *顯然是標準同構的（又稱自然同構）。

「標準/自然同構」這個概念其實在範疇論裡面是有嚴格定義的，然而我還沒學範疇論（捂臉），所以這裡沒法搞清楚到底什麼才算標準的/自然的同構，什麼又是不標準的/不自然的同構。但我們可以先記住，V和 V *的同構通常是不標準同構， V *和 V * *的同構是標準同構。我打算在不久之後搞清楚他們的區別。就我現在接觸到的內容來看，我覺得「基」這個概念可以等寫自然同構時再一起寫。

對偶空間有時候又叫做共軛空間，這個名字的意思也真是相當直白，共軛是什麼呢？搬運一張百度百科裡的圖

哎怎麼寫了半天感覺跟數學沒什麼關係了，我還是用數學語言稍微處理一下要不然我自己都感覺有些不習慣……

設 V 是一個 n 維線性空間（我們暫時先不考慮無限維的），V 上全體線性函數組成的集合L。

「按同結構組成」就是說在 L上定義和V上相同的運算，也就是加法和數量乘法，然後，L就成為了V的一個對偶空間。

V和它的對偶空間L同構，L的對偶空間V**在結構上和V是完全等價的，只是因為可以選不同的基而可以出現不同的表達。

好好的線性空間為什麼要研究它的對偶空間呢，因為有的東西在原空間里不好解決，但是在對偶空間甚至雙重對偶空間里就很好解決了。你要我舉例子的話……其實我一時半會還想不出來（真尷尬），不過我還打算繼續寫一些關於對偶（不只是對偶空間）的東西，想到了可以在新文章里更新。

考慮到讀者的閱讀體驗，我並沒有輸入公式，但這並不妨礙我們理解對偶空間。當然，對於數學專業的學生，你需要一本教材。如果對照這篇文章後還不能理解的，我也實在不是謙虛，您還是另請高明吧……