代數拓撲中的同調和上同調有哪些聯繫？

02-03

卸腰。

首先，讓我們從最基本的概念出發：什麼是同調？

首先你要有一個分次的（graded）鏈復形（chain complex） $C_*=left{ {C_n|nin mathbf{Z}} ight}$ 。一般來說，這個鏈復形是一連串的abelian group。而在這個鏈復形上有一個降次的運算 $d_n:C_n o C_{n-1}$ ，一般叫做邊界運算（boundary map）。這個預算滿足一個條件，即做兩次以後是0： $d_{n-1} circ d_n:C_n o C_{n-2}=0$

我們稱一個閉鏈（closed chain or cycle） $xin C_n$ 是滿足條件 $d_n(x)=0$ 的元素（稱為同調類）.而定義 $yin C_n$ 是一個邊緣（boundary），如果存在 $z in C_{n+1}$ ,使得 $d_{n+1}(z)=y$ .

顯而易見地，邊緣一定是閉鏈，而閉鏈不一定是邊緣。我們把n維同調定義成閉鏈商去邊緣（作為交換群的商群）。

具體參考Homology (mathematics)

簡而言之，同調是衡量不是邊緣的閉鏈有多少。

接下來可以定義上同調，上鏈復形（cochain complex）定義為chain complex到 Z的函數。而上邊緣映射（coboundary map）定義為由邊緣映射誘導。同理你可以定義上同調。

下面可以回到題目了：

1，上同調是相同維數的同調上的函數。由定義，上同調可以用鏈復形上的函數來表示，但是可能會有兩個不同的鏈復形里的元素，最後在同一個函數（即上同調類）下的取值是一樣的。而定義告訴我們：這個取值只和同調類的選取有關，即如果兩個同調類之間相差一個邊緣，則他們在這個上同調類上的取值是一樣的。（上同調類的定義類似同調類）

2. 萬有係數定理（Universial coefficient theorem）：通過同調可以知道上同調，反過來，通過上同調也可以知道同調。

3.還有一種看法是，把上同調視為負數維的同調。

大概這樣吧，想到再補充。

謝邀。只想到他們之間的natural pairing和Poincare duality。有時候人們會abuse notion, 把cycle也用上同調來寫，依據就是Poincare duality。

我就說兩件事。第一件事：

設 $X$ 是拓撲空間，考慮係數在交換環 $R$ 中奇異同調和奇異上同調 $H_{ast}(X;R)$ 和 $H^{ast}(X;R)$ . 設 $G$ 是 $R$ 上的模. 則有萬有係數定理：

1 已知同調 $H_{ast}(X;R)$ ，算上同調 $H^{ast}(X;R)$

假設 $R$ 是一個PID（例如 $R=mathbb{Z}$ 或域 $k$ ）,則有分裂短正合列

$0 o Ext_{R}^{1}(H_{n-1}(X;R);G) o H^{n}(X;G) o Hom_{R}(H_{n}(X;R),G) o 0.$

2 已知上同調 $H^{ast}(X;R)$ ，算同調 $H_{ast}(X;R)$

假設 $H_{n}(X;R)$ 對所有 $n$ 是有限維的，則有分裂短正合列

$0 o Ext_{R}^{1}(H^{n+1}(X;R),G) o H_{n}(X;G) o Hom_{R}(H^{n}(X;R),G) o 0.$

第二件事：

設 $C_{ullet},D_{ullet}$ 都是自由的阿貝爾群的鏈復形，則 $C_{ullet}$ 和 $D_{ullet}$ 鏈同倫等價當且僅當它們的同調群同構：
$C_{ullet}simeq D_{ullet}iff H_{ast}(C_{ullet})simeq H_{ast}(D_{ullet}).$

這推知拓撲空間 $X$ 的整係數奇異同調完全決定了其任意係數的奇異同調和奇異上同調. 這個事實還可以加強為

設 $f:X o Y$ 是單連通的胞腔復形之間的連續映射，若其誘導的同調群之間的同態 $f_{ast}:H_{ast}(X) o H_{ast}(Y)$ 都是同構，則 $f$ 是同倫等價.

這可由Whitehead theorem和Hurewicz theorem推知.

Poincaré duality