人們對公正的分歧從何而來：羅爾斯主義vs邊沁主義（一）

一、前言

這篇文章是準備高級微觀考試整理的一部分內容，關於社會選擇的。我個人其實蠻喜歡這種宏達敘事的東西，可惜沒有考到。既然已經整理過了，紙的東西馬上就丟，不如就記在這裡吧。

初級微觀課本上也會涉及到一些社會選擇的內容，一般而言，我們假設有一個社會福利函數，給定社會上所有個體的效用，那麼社會整體的效用是什麼呢？

初級課本會告訴你，有兩種主要的思路：一種是，社會整體的效用，由所有個體的效用加起來而決定的；一種是，社會整理的效用，由效用最低的那個的效用而決定的。顯然，前者不注重公平問題，只看總效用的大小，而後者非常注重公平，如果一個社會所有人都不好也不差，一個社會有的人特別好，有的人特別差，我們說前一個社會的社會效用大於後一個社會。

我們把第一種叫做功利主義的社會福利函數，或者邊沁主義的社會福利函數；第二種叫做羅爾斯主義的社會福利函數。

用數學語言說，假設個體i的效用為U（i），社會效用為W。

那麼邊沁主義的社會福利函數w=U(1)+U(2)+……+U（i）

而羅爾斯主義的社會福利函數w=min（U(1)，U(2)，……，U（i）），min（）是一個函數，意思是取其中最小的。

當時我的感覺是，兩種社會福利函數，是根據思想家的不同思想，提煉出來的數學形式而已。後來我才知道，這種社會福利函數，其實是在同一個大框架下，幾個關於效用假設的不同而已，如果滿足了這些假設，社會福利函數必然是這種形式。

這篇文章就是想要記述，什麼樣的假設下，我們會得到什麼樣的社會福利函數。由於這是一個科普類的文章，我們考慮兩個人的社會，並通過圖示的方法加以證明，用到的核心概念是無差異曲線。

我們首先將要證明，在1、社會福利函數滿足某些基本特徵；2、個人偏好是序數並且人際間不可比的時候，社會福利函數是獨裁的（阿羅不可能定理）；其次我們證明，個人偏好是序數並且人際間可比的時候，社會福利函數是羅爾斯主義的；最後我們證明，個人偏好是基數，並且人際間增量可比的時候，社會福利函數是邊沁主義的。

本文完全總結自Jehle和Beny的高級微觀，由於是科普向的，首先介紹一個重要概念：無差異曲線。

二、無差異曲線

我們假設對每一組商品配置，消費者都能分辨出好壞，假設存在一個效用函數，對每一組商品配置賦值，使得消費者更偏好的那組賦更大的值。

現在我們問：給你一組商品，和這組商品的效用無差異的商品組合都有哪些。

特別的，假設世界上只有x和y兩種商品，當x=3，y=3時，什麼樣的x和y與它們效用相等呢？

讓我們首先在（x，y）空間把（3,3）畫出來：

然後我們想，還有哪些點和（3,3）的效用相等？例如當x變成4的時候？顯然這取決於不同的商品類型。例如：

（1），完全替代商品。

如x等於張家饅頭，y等於李家饅頭。反正饅頭是一個味道的，我們我只關心饅頭的數量，既然（3,3）意味著我一共消費了6個饅頭，那麼張家饅頭變成4個的時候，我消費2個李家饅頭就和（3,3）一樣，也就是（4,2）；同理，李家饅頭變成4個的時候，我消費2個張家饅頭也效用相等，這就是（2,4）。

換句話說，無差異曲線是一個直線。

這時候的效用函數u（x，y）=x+y

（2），完全互補商品。

如x等於左手手套，y等於右手手套。只有手套是一雙才有意義，不然多了哪一隻都是多餘的。那麼（3,3）意味著我有3雙手套。當x變成4的時候，也就是3雙手套，加一隻左手手套，這時候（4,3）的效用其實和（3,3）是相同的，因為多出來的左手手套，沒有右手手套跟它配對，對你的效用來說是0，同樣的，x變得再大，只要y還是3，這些都在（3,3）的無差異曲線上——所有y=3且和x軸平行的線上點，都和（3,3）效用相等。

那麼我們讓x保持在3，y變大呢？也是同樣的道理，（3,4）的效用和（3,3）一樣，並且所有x=3且和y軸平行的線上點，都和（3,3）效用相等。這時候無差異曲線就是一個直角：

這種奇怪的效用，其實意味著，我們成對消費兩種商品，所以我們的效用取決於數量最小的那一個商品，不然另一個商品變得再大，對我們來說是無差異的。

這時候的效用函數u（x，y）=min（x，y）

（3），無關商品。

假設我只對y感興趣，不對x感興趣，這時候x變成4，顯然效用和（3,3）是相等的。事實上，x變成任何數，都和（3,3）效用相等，也就是所有y=3且和x軸平行的線上點，都和（3,3）效用相等。那麼這和上文中完全互補的有啥區別呢？

由於我只關心y，所以y變成4的時候，我的效用就變大啦，這時候（4,3）就不在（3,3）的無差異曲線上了，而是在更高的無差異曲線上啦！所以這個無差異曲線，只有直角的一條邊：

由於我只關心y，所以效用函數u（x，y）=y

三、從個人偏好到社會偏好

讓我們回到從個人偏好到社會偏好的問題。也許你發現了一個奇怪的現象，當我們把效用函數u（x，y）中的u換成w，把x和y換成u（1）和u（2）的時候，再來比較一下：

a、羅爾斯社會福利函數：

w=min（U(1)，U(2)，……，U（i））

b、完全互補品的效用函數：

U（x，y）=min（x，y）

這倆其實是一個東西！，所以我們的x軸變成第一個人的效用，y軸變成第二個人的效用，我們畫出一個「社會無差異曲線」，它也是一個直角！

同樣，我們看到：

a、邊沁的社會福利函數：

w=U(1)+U(2)+……+U（i）

b、完全替代品的效用函數：

u（x，y）=x+y

這倆其實是一個東西！，所以我們的x軸變成第一個人的效用，y軸變成第二個人的效用，我們畫出一個「社會無差異曲線」，它也是一條線！

所以，邊沁的社會福利函數，其實是社會認為每個人的效用是完全替代的，所以只關心總效用；而羅爾斯的社會函數，其實社會認為每個人的效用是完全互補的，所以只關心最差的人的效用。

那麼問題來了？無關商品的效用函數，對應什麼樣的社會福利函數呢？

這個效用函數是這樣的U（x，y）=y

我們轉化成社會福利函數：

W（u（1），u（2））=u（2）

也就是，社會的福利完全取決於其中某一個人的效用，而不關心其他人。

這樣的社會福利函數，就叫做獨裁。

說到這裡，我們就來到了阿羅不可能定理的世界。

四、阿羅不可能定理

阿羅不可能定理是說，在滿足某些最基本的條件之後，一個理性的社會福利函數，必須是獨裁的。理性指的是偏好必須有完備性和傳遞性。

阿羅不可能定理對社會福利函數的最低要求有：

U：任何奇葩商品的排序都得考慮。

WP：如果所有人都認為a比b好，那麼社會也應該認為a比b好。

IIA：社會只考慮人們對a於b的偏好關係，不用關心c在哪裡，例如1和2兩個人對於a,b,c三個商品的排序，1的排序是abc，2的排序是cab，那麼社會仍然會把a排在b前面。

D:非獨裁。

而對個人偏好的要求有：

OS：偏好是序數的而非基數的

NC：人際間不可比

阿羅說，這幾個條件不可能同時成立。滿足前邊條件的理性社會偏好，必須是獨裁的。

我們來用簡單的圖示看看這是什麼意思。所以我們假設可以用連續的效用函數代表人們的偏好。我們還假定只有2個人。所以我們能在二維平面畫圖，也就是我的草稿紙。

就像上邊說的，獨裁的社會福利函數，是一條平行於某個軸的直線。

我們還是按照上邊的方法，先給定一個點，然後看和這個點效用相同的點在哪裡，也就是看看無差異曲線是什麼樣的。

就像上邊說的，我們想要證明無差異曲線是一條平行於某個軸的直線。

現在，我們在u1和u2的空間（橫軸代表第1個人的效用，縱軸代表第2個人的效用）上任意取一個點A。然後我們以A為原點，把這個空間分成四個部分。

我們分別看看這四個部分的點與A的關係。

第2部分：

首先看第2部分。這個部分所有的u1都比A的u1高，所以第1個人會覺得這個部分效用更高；這個部分所有的u2也都比A的u2高，所以第二個人2會覺得這個部分效用更高。既然所有人都覺得這裡更好，根據WA，社會也應該認為這裡更好，所以第2部分的所有點，都不在A的無差異曲線上，而是比A更好。

第3部分：

其次看第3部分，這個部分所有的所有的u1都比A的u1低，所以第1個人會覺得這個部分效用更低；這個部分所有的u2也都比A的u2低，所以第二個人2會覺得這個部分效用更低。既然所有人都覺得這裡更差，根據WA，社會也應該認為這裡更差，所以第2部分的所有點，都不在A的無差異曲線上，而是比A更差。

我們把更好的地方用+填滿，把更差的地方用-填滿，所以還剩下1部分和4部分。

第1部分

先來看第1部分。接下來的工作，我們要證明，這部分所有的點與A的偏好關係都相同，也就是我任取一點B（x1，x2），如果它比A好，那麼1部分所有點也都比A好，反之也反。1部分的點，要麼都比A好，要麼都比A差。

好吧，讓我們首先假設它比A好吧。

注意到這一點有一個特點：B（x1，x2），在A（u1，u2）點的左上方，也就是x1小於u1，x2大於u2

x1，u1，x2，u2，這是什麼東西？這是效用，給每個人的偏好指定的一個數。

我們知道，效用函數是為了排序，如果B比A好，那麼u（B）大於U（A），這時候我們再給U加一個正的單調變換f（），顯然f（u（B））也會大於f（u（A）），這樣也能代表B比A好。也就是效用的正變換，不改變偏好關係。

我們想要的f（）是這樣的，它恰好滿足：

f（u1）=u1

f（u2）=u2

也就是對A點做一個映射，A點還是A點。

如果對B（x1，x2）點做一個映射呢，我們得到了C點，假設C(v1,v2)

（下面一段可以不看，直接看下邊黑體字結論。）

所以：

v1=f（x1）

v2=f（x2）

注意到1部分區域的點有一個共同特點，就是：

所有橫軸的點都小於u1

所有縱軸的點都大於u2.

例如B（x1，x2）,就滿足這個特點，所以：

x1小於u1

x2大於u2

f（）是個正單調變換，所以：

f（x1)小於f(u1)

f(x2)大於f(u2)，

但是

f（x1）=v1 ，f（x2）=v2，f(u1)=u1，f(u2)=u2

所以v1和v2也滿足：

所有橫軸的點都小於u1

所有縱軸的點都大於u2.，

所以C(v1,v2)也在區域1裡邊！

上邊一堆什麼意思呢？意思是，我們做了一個映射，這個映射下，A還是A自己，B變成了C，但是C還在區域1里！

這個映射使得：

A映射成A

B映射成C

由於映射是正的，所以映射左邊的偏好關係，應該和右邊一樣，也就是A與B的偏好關係，與A與C一樣。

這裡我們假設B比A好，那麼C也會比A好。

可以證明，我們能夠把區域1中的所有的點都映射到，因此C是任意的，也就是說，區域1中所有的點與A的關係都相同：要麼都比A好，要麼都比A差。

區域4

接下來我們來到區域4，基於同樣的道理，我們也可以證明，區域4中的所有點，要麼都比A好，要麼都比A差。

區域1與區域4的關係

那麼究竟1和4里的點，比A好還是比A差呢？

我們不知道，但是我們知道的一點是，如果1里的點都比A好，那麼4里的點一定比A差，反之也反。

我們為什麼會知道這個？

我們首先假設1里的點比A好，那麼取一點B（u1-1，u2+1），也比A（u1,u2）好。

我們再來一個正的變換，我們給所有的橫坐標加1，給所有縱坐標減1，也就是去右下方。這個變換仍然是正的，所以仍然不改變偏好關係。

這時候B（u1-1，u2+1）變成了什麼？去了右下方，變成了（u1,u2），也就是A。

這時候A（u1,u2）變成了什麼？變成了（u1+1,u2-1），這一點c（u1+1,u2-1）在哪裡？從A出發，去了右下方，也就是到了區域4。

所以我們這個變換：

B映射成了A

A映射成了C，

左邊的偏好和右邊的偏好一樣。

所以B比A好，那麼A比C好。

而C是區域4里的點，所以A比區域4里所有的點都好。

這樣我們就證明了，如果區域1里的所有點都比A好，那麼區域4里的所有點都比A差。

同理，如果區域4里的所有點都比A好，那麼區域1里的所有點都比A差。

現在我們可以用+和-補完這四個區域了，以前它是這樣的：

現在我們有兩種補完方式：

1、我們把1用+補完，那麼4就得是-，所以是這樣的：

這個時候我們得到了一個平行於橫坐標的無差異曲線。

也就是，社會福利無論第1個人效用怎麼變，都不變，第1人無關緊要，第2個人是社會全部關心的。

W（u（1），u（2））=u（2）

第2個人是獨裁者！

2、我們把1用-補完，那麼4就得是+，所以是這樣的：

這個時候我們得到了一個平行於縱坐標的無差異曲線。

也就是，社會福利無論第2個人效用怎麼變，都不變，第2人無關緊要，第1個人是社會全部關心的。

W（u（1），u（2））=u（1）

第1個人是獨裁者！

所以說，無論我們怎麼填充，要麼第一個人是獨裁者，要麼第二個人是獨裁者！

這就是阿羅不可能定理的悲觀結論。

我們有各種方法放鬆阿羅不可能定理的假設，以得到不那麼悲觀的結論。

其中我們所普遍關心的，是放鬆了對個人偏好的假設。

回憶一下，阿羅不可能定理對個人偏好的假設有兩個：

OS：偏好是序數的而非基數的

NC：人際間不可比

我們可以做兩個變化：

1：

OS：偏好是序數的而非基數的

NC：人際間可比（共同正變換不改變社會排序）

這樣我們就會得到羅爾斯的社會福利函數。

2：

CS：偏好是基數的

IC：人際間增量可比（共同的仿射變換不改變社會排序）

這樣我們就得到了邊沁的社會福利函數。

由於我要睡覺了，就在下一篇文章寫這部分吧。