第二課——星際收（su）費（du）地圖

02-02

時間逆轉。你又坐回到了冰湖裡頭，懷揣一個滅火器，手裡還多了個速度表。

你在內心裡問候無數遍這個作弄人的小妖精，並暗暗發誓抓住就要好好教訓一頓之後，你又開始向離開這個鬼地方努力。

不過這次情況不一樣了，你發現在接近湖邊的過程中，你的速度表讀數正在下降——你的速度正在逐漸降低。這個時候，叫「冰湖」顯然已經不太合適了，叫「冰坑」更好。

在你在坑底，一瞬間把滅火器裡頭的氣體用完以後，你讀出你的速度是v1，到冰坑的邊緣的時候，你又讀出你的速度是v2。如果你把坑邊緣所處的重力勢能定義為0，那麼坑底的重力勢能是-mgH，你所克服的重力勢能是mgH。那麼很明顯的，你的動能差轉換成為用來克服從坑底到坑頂的勢能差。

$frac{1}{2}mv_{1}^{2}+(-mgH) =frac{1}{2}mv_{2}^{2}+0Rightarrow frac{1}{2}m(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=mgH$

那麼當我們跳出地球之後，對應的勢能又是多少呢？

道理是一樣的，只要假裝地球也在一個坑裡頭就行了。

//圖片來自網路，我知道這是說地球引起時空彎曲的圖啦_(:зゝ∠)_

那麼如果你從地球這個坑裡頭爬出來，就相當於你逃脫了地球這個大坑，一去不復返。這就是所謂的「逃逸」。但是同樣的，如果我們定義坑邊緣的勢能是0的話，那麼問題就出來了：坑的邊緣，到底是哪裡？

我們知道，G為萬有引力常量，M為地球質量，m為地球附近的物體質量，r為該物體到地球的距離，那麼，它受到地球的引力大小是

$F=frac{GMm }{r^{2} }$

由於引力的觸角伸得非常的遠，當r趨向於無窮大的時候，我們可以認為，已經到坑的邊緣了，定義這個地方的引力勢能為0，即：

$E_{p}= int_{}^{} frac{GMm}{r^{2} }dr=-frac{GMm}{r}$

如果我們僅僅用速度去恰好把它克服的話，相當於把物體從地球表面處拎到無窮遠處，且令終末速度恰好為0，那麼就會有：

$frac{1}{2} mv^{2} +int_{R }^{infty } frac{GMm}{r^{2} }dr=0$

無窮積分相當於對原函數取極限，將地球質量跟萬有引力常數代入，解得：

V=11.2km/s。

這就是逃逸速度，又叫第二宇宙速度。當我們達到這個速度之後，我們就跟地球說再見了。

如果我們要去除了月球以外的其它星球的話，我們首先必須要突破這個速度。

既然說了「首先」嘛，那麼一定還沒完了。

逃出了地球的引力圈（太陽引力作為主導）之後，你還需要到達別的星球的引力圈（目標星球的引力作為主導）。本質上，是航天器克服太陽為引力源的引力勢能。相當於你在太陽所在的坑裡頭，再往上爬一段。

去目的地的路有千千萬萬，哪條路才最實在呢？沒關係，已經有人解決了。

1925年，德國科學家沃爾特·霍曼（Walter Hohmann）證明了，如果把航天器送到太陽系內的目標星球，最經濟的軌道是以太陽為其中一個焦點焦點，近日點落在地球軌道，遠日點落在目標星球軌道上的一個大橢圓軌道。

//圖片還是來自《星際航行概論》錢學森著，1963年版，第136頁

假設出發星球與目的星球的軌跡均為正圓（實際上都是橢圓，但是離心率都接近於1，故可以假設是正圓），設近日點到太陽距離為 $r_{2}$ （即出發星球的軌道平均半徑），遠日點到太陽距離為 $r_{1}$ （即目標星球的平均軌道半徑），太陽質量為M，萬有引力常量為G，由開普勒第三定律：

$T=frac{2pi a^{frac{3}{2} } }{sqrt{GM} }$ ，以及 $a=frac{r_{1}+r_{2}} {2}$ ，有 $T=2pi (frac{r_1+r_2}{2} )^{frac{3}{2} } frac{1}{sqrt{GM} }$

由開普勒第二定律可以知道，航天器在橢圓軌道中，單位時間內半徑掃過的面積不變（即面積速度不變），那麼面積速度=橢圓面積/周期，則

面積速度 $=frac{pi ab}{T} =frac{sqrt{GM} }{2} frac{sqrt{r_1r_2}}{sqrt{frac{r_1+r_2}2}}$

那麼，由於面積速度 $=frac{1}2r_1v_1=frac{1}2r_2v_2$ ，故

遠日點速度 $v_1=sqrt{GM} (frac{r_2}{r_1} )^{frac{1}{2} } frac{1}{sqrt{frac{r_1+r_2}{2} } }$

近日點速度 $v_2=sqrt{GM} (frac{r_1}{r_2} )^{frac{1}{2} } frac{1}{sqrt{frac{r_1+r_2}{2} } }$

那麼下面以地-火轉移軌道為例子，我們來進行一個簡單的計算。

代入相關的數據，有

$v_{1}$ =32.8km/s

由於地球本身就具有29.8km/s的公轉速度，則轉移到橢圓軌道需要額外增加3km/s的速度。顯然的，由於發射場在地球上頭，飛船進入霍曼轉移的整個流程就是克服地球的勢能與沿霍曼軌道飛行的疊加。

飛船在離開地球的時候速度是 $v_e$ ，克服了地球的引力勢能之後，到達霍曼轉移軌道的速度是 $v_h$ ，那麼我們就有

$frac{1}{2}mv_e^{2} =frac{1}{2}mv_h^{2} +frac{1}{2} times mtimes 11.2^{2}$

解得 $v_e$ =11.6km/s

也就是說，離開地球的的速度需要比第二宇宙速度多0.4km/s，我們才能經由地火轉移軌道到達火星。如果被火星捕獲了以後，沒有速度將霍曼轉移軌道轉換為繞火軌道的話，這個衛星僅僅跟火星見了個面就說再見了~

當然捕獲所需要的速度，也是可以被計算出來的，有興趣的讀者也可以按照上面的方法進行計算。看看需要多少速度才能把飛船從霍曼轉移軌道轉到火星低軌道（100km）

那麼現在，我們就可以在地球到火星之間的連線上面加個點（霍曼轉移點），點的左邊是地球，右邊是火星，分別寫上兩個數字，代表到這個點需要的速度增量（也就是delta v，簡稱dv）。自然，左邊的數字是11.2，右邊的數字是0.4。隨著我們計算出更多星球所需要的dv，我們也就能畫出更多的路線來。

//高清大圖戳此鏈接→Delta-V Map of the Solar System

這就是我們的題圖了：一張從地球出發，到太陽系內所有行星及其衛星所需要的dv表，看起來像極了收費區間圖呢！當我們指定了目標星球之後，我們只要將經過的點位所需要的dv一段一段加起來，就可以得到最終所需要的dv了。

現在，收費表知道了，那麼接下來的事情，就是湊錢了。

つづく……

P.S.這個地圖使用的條件是：在低地球軌道一次性加速要需要的速度，如果到高軌道（勢能高的地方）再重新加速的話，那麼需要的速度增量就一定比之前的要大了哦~