從萬有引力定律到圓錐曲線軌道

02-02

那一天，Probe 終於回想起了，曾經一度被萬有引力所支配的恐怖，還有被囚禁於圓錐曲線中的那份屈辱。

對於 Probe 這種從小數學就渣到不行的同學來說，解析幾何無疑他高中時的噩夢。數學裡的解析幾何大題他從來就拿不到幾分，更別提最後壓軸題了。

那個時候 Probe 的內心就產生了一個疑問：」為什麼學霸會那麼熟練啊？他們到底做解析幾何做過多少次了啊？「

停一下，停一下，台本拿錯了。

那個時候 Probe 的內心就產生了一個疑問：」為什麼一定要學解析幾何啊？學了圓錐曲線到底有什麼用啊？「

直到 Probe 了解到了開普勒曾經發現的三條定律，了解到了在牛頓力學的支配下天體沿著圓錐曲線運動的規律後，Probe 才明白學習圓錐曲線的重要性......（個鬼，其實下面要寫的內容和高中解析幾何沒有半毛錢關係，以上都是口胡）

開普勒問題（二體問題）

說到天體運行的軌道，可能大部分人的第一反應會想到著名的牛頓大大，另外一部分人會想到開普勒。我們都知道，17世紀初，開普勒在他的老師第谷的大批觀測資料的基礎上總結出了三條定律：

每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中；
在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的；
每個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

嚴格來說，在那個年代開普勒總結出的三條定律都是經驗公式，開普勒自己也沒提出解釋這三條定律的理論體系。直到牛頓提出萬有引力的平方反比公式和牛頓三定律，並結合自己超強的數學能力再次印證了開普勒三條經驗公式的正確性，太陽系中的天體的運行規律才真正得到了揭示。

那麼，Probe 要怎麼樣才能從萬有引力公式中得到開普勒問題中圓錐曲線軌道的結果呢？

首先 Probe 要知道開普勒問題的定義：

在經典力學裡，開普勒問題是二體問題的一個特別案例。假若，兩個物體以有心力F互相作用，力的大小與距離r的平方成反比，則稱此物理系統所涉及的問題為開普勒問題。

簡單來說，開普勒問題就是平方反比有心力支配下的二體問題，在我們要討論的領域中（軌道力學），開普勒問題和二體問題是等價的。

開普勒問題的模型

知道問題的定義後就可以建立起模型。Probe 表示二體問題的模型很好建立，只要畫一個大白就可以了：（霧

●—●

或者長者：（拉出去續了！

Θ--Θ

好吧其實是這樣的：（正解

根據萬有引力的平方反比公式，Probe 知道了作用在質點1和質點2上的力分別為：

$bm{F}_1=frac{Gm_1m_2}{r^3}bm{r}, bm{F}_2=-frac{Gm_1m_2}{r^3}bm{r}.$ （1）

根據牛頓第二定律：

$bm{F}_1=m_1bm{ddot{r}}_1, bm{F}_2=m_2bm{ddot{r}}_2.$ （2）

顯然，可以得到：

$bm{F}_1 + bm{F}_2=m_1bm{ddot{r}}_1+m_2bm{ddot{r}}_2=0$ （3）

對 (3) 積分兩次得到（ $bm{C_1}$ 和 $bm{C_2}$ 為積分常量）：

$m_1bm{r}_1+m_2bm{r}_2=bm{C}_1t+bm{C}_2$ （4）

Probe 在理論力學課中學過，二體系統的質心被定義為：

$bm{R} = frac{m_1bm{r}_1+m_2bm{r}_2}{m_1+m_2}$ （5）

也就是說：

$bm{R} = frac{bm{C}_1t+bm{C}_2}{m_1+m_2}$ （6）

於是 Probe 可以得出第一個結論：開普勒問題中，系統的質心靜止或作勻速直線運動。好吧，其實這個結論和動量守恆定律是完全等價的，所以我們可以說 Probe 已經得到了開普勒問題中的第一個守恆量：動量。

基本運動方程

下面 Probe 要開始具體研究質點的運動了，但是，在這個問題中，Probe 犯了個難，到底應該先研究誰的運動呢？

上面的結論告訴 Probe，二體的質心位於慣性系中，因此 Probe 只要研究清楚了質點相對於質心的運動規律，問題就得到了解決；另外，Probe 也可以研究一個質點相對於另一個質點的運動。我們通過下面的推導可以發現，這兩種運動的本質是完全相同。

首先來看一看質點相對於質心的運動，Probe 選取了一個新的慣性參考系，並讓系統的質心始終位於原點，因此：

$m_1bm{r}_1 + m_2bm{r}_2 = 0$ （7）

根據幾何關係：

$bm{r}_2-bm{r}_1=bm{r}$ (8)

由 (7)(8) 可以得到：

$bm{r} = frac{m_1+m_2}{m_1}bm{r}_2$ (9)

將 (9) 代入 (1)與(2) 的第二個式子，質點2的運動方程可以重新寫為：

$bm{ddot{r}}_2+Gfrac{m_1^3}{(m_1+m_2)^2r_2^3}bm{r}_2 = 0$ (10)

這個關於 $bm{r_2}$ 的運動微分方程就決定了質點2相對於質心的運動，同理可以得到質點1的運動微分方程。

然後，Probe 想要再來看一看一個質點相對於另一個質點的運動是如何的（這裡取質點2相對於質點1）：

對式 (8) 兩次求導，得到：

$bm{ddot{r}}_2 - bm{ddot{r}}_1 = bm{ddot{r}}$ (11)

由 (1)(2) 可以得到：

$bm{ddot{r}}_1 = frac{Gm_2}{r^3}bm{r}, bm{ddot{r}}_2 = -frac{Gm_1}{r^3}bm{r}$ (12)

將 (11)(12) 聯立：

$bm{ddot{r}}+Gfrac{m_1+m_2}{r^3}bm{r}=0$ (13)

可以看出，式 (10) 和式 (13) 是同一類運動方程，只不過係數有所不同。由於 (13) 的形式更為簡單，令 $mu = G(m_1+m_2)$ ，得到：

$bm{ddot{r}}+frac{mu}{r^3}bm{r}=0$ (14)

角動量守恆

Probe 暗自高興：只要把這個微分方程解出來，一切就大功告成了！但是事情也去並沒有他想的那麼簡單。

在解之前，Probe 先對式(14) 進行一些骯髒的python交易（霧）。交易對象是 $bm{r}$ ，交易方法是叉乘 $times$ （好污呀......嚇得 Probe 趕緊閉上了眼睛（*/?＼*））：

$bm{r} times (bm{ddot{r}}+frac{mu}{r^3}bm{r})=0 bm{r} times bm{ddot{r}}=0$ (15)

對這個叉乘交易後的結果進行積分，Probe 得到：

$bm{r} times bm{dot{r}}=bm{h}$ (16)

因為 $bm{h}$ 是一個積分常數，所以是一個常值。 $bm{h}$ 的物理意義是單位質量下的角動量，在這裡 Probe 得到的結論其實就是：角動量守恆。

現在 Probe 手握兩大守恆量：動量、角動量。相信第三大守恆量是什麼不需要多說大家也都知道了吧。

極坐標系下的微分方程

好，現在 Probe 再開始集中精力對付 (14) 這個小妖精。要想解這個矢量微分方程，最直接的方法就是將它化為標量微分方程。為此，Probe 選取了極坐標系來進行操作。

矢量微積分投影到極坐標的公式在這裡（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB#.E7.9F.A2.E9.87.8F.E5.BE.AE.E7.A7.AF.E5.88.86）可以找到，其中 $hat{bm{r}}$ 和 $hat{bm{theta}}$ 分別是徑向與切向的單位矢量：

$bm{r}=rhat{bm{r}},nfrac{dbm{r}}{dt} = dot rhat{bm{r}} + rdotthetahat{bm{theta}},nfrac{d^2mathbf{r}}{dt^2} = (ddot r - rdottheta^2)hat{bm{r}} + (rddottheta + 2dot r dottheta)hat{bm{theta}}.$ (17)

將 (16) 用 (17) 中的式子替換，可以得到：

$rhat{bm{r}}times(dot rhat{bm{r}} + rdotthetahat{bm{theta}})=bm{h} r^2dot{theta}hat{bm{z}}=bm{h}$ (18)

顯然 $hat{bm{z}}$ 是與 $hat{bm{r}}$ 、 $hat{bm{theta}}$ 垂直的第三方向的單位矢量，將上式寫為標量方程，得到：

$r^2dot{theta}=h$ (19)

將 (17) 代入微分方程 (14)：

$(ddot r - rdottheta^2+frac{mu}{r^2})hat{bm{r}} + (rddottheta + 2dot r dottheta)hat{bm{theta}} = 0$ (20)

Probe 發現，(20) 的第二項其實是可以消去的：

$(rddottheta + 2dot r dottheta)hat{bm{theta}} = frac{1}{r}frac{d(r^2dot{theta})}{dt}hat{bm{theta}}= frac{1}{r}frac{dh}{dt}hat{bm{theta}}=0$ (21)

因此，(20) 就可以再次簡化為：

$ddot r - rdottheta^2+frac{mu}{r^2}=0$ (22)

開普勒問題解的軌跡

眼看著方程一步一步被簡化得這麼簡單，但是......Probe 還是不知道該怎麼解啊！

摔(╯°□°）╯︵ ┻━┻

這時候，一道神秘的光芒從遙遠的地方灑向了地球，光芒中一個柔和的聲音說道：

」艾爾之光指引著你，為什麼不試試變數替換呢？「

（大霧，其實 Probe 全程都在看著參考資料在寫公式_(:з」∠)_，畢竟數學太渣）

於是 Probe 對 $r$ 進行了變數替換，將其替換為 $frac{1}{s}$ ：

$r=frac{1}{s}, dot{r} = -frac{dot{s}}{s^2}=-frac{1}{s^2}frac{ds}{dtheta}dot{theta}=-hfrac{ds}{dtheta}, ddot{r}=-hfrac{d^2s}{dtheta^2}dot{theta}=-h^2s^2frac{d^2s}{dtheta^2}.$ (23)

於是 (22) 化成了：

$-h^2s^2frac{d^2s}{dtheta^2}-frac{1}{s}h^2s^4+mu s^2=0 frac{d^2s}{dtheta^2}+s-frac{mu}{h^2}=0$ (24)

看著這個微分方程，Probe 倍感親切：這不就是二階常微分方程嗎，終於有個方程咱自己會解了（ＴДＴ）。於是 Probe 就動手解了起來：

$s= frac{mu}{h^2}(1+ecos(theta+varphi))$ (25)

Probe 知道，對於這種類型的振動方程，可以選取合適的初始條件讓初始相位 $varphi$ 等於0。然後 Probe 替換回原來的變數 $r$ ，並把 $h^2/mu$ 的值取為 $p$ ，得到了：

$r=frac{p}{1+ecos{theta}}$ (26)

Probe 看了看最終得到的這個式子，然後回想了殘存不多的高中解析幾何知識，最後表示一臉懵逼：

這是個啥？？

無奈之下， Probe 翻了翻圓錐曲線的維基百科，發現這不就是極坐標系下的圓錐曲線方程么，ORZ...

對於e = 0得到一個圓，對於0 < e < 1得到橢圓，對於e = 1得到拋物線，對於e > 1得到雙曲線。

Probe 長嘆一口氣：費了這麼多的功夫，終於驗證了當年開普勒大大提出的第一條定律：

每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。

不過 Probe 微微一笑：當年的開普勒畢竟還是圖樣，當年只發現了橢圓軌道的規律，殊不知咱今天就發現了二體問題中不僅存在橢圓軌道，還可能存在其他圓錐曲線軌道的驚天大秘密（又不是你最先推出來的公式，從未見過如此厚顏無恥之探基）

Probe 又看了看式 (26) ，又回顧了一遍推導過程，心滿意足地跑到外面探路去了......

參考資料

[1] Howard D. Curtis. Orbital Mechanics for Engineering Students.

[2] Murray, C. D., and Dermott, S. F., Solar System Dynamics, Cambridge University Press, 1999.

[3] Kepler orbit

[4] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF

[5] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%8B%E5%8D%9C%E5%8B%92%E5%95%8F%E9%A1%8C

[6] 標題圖來源：https://vimeo.com/112361221

這裡是 Probe 的後記：

自從「Hello Orbit！」創刊以來已經過去三個月了！！拖稿小能手 Probe 扔出一篇創刊號就對他的專欄什麼也不管了！！也許是他自己良心發現了！！今天終於寫了專欄的第一篇文章！！還貼了一堆公式！！讓人根本不想看寫的是什麼！！怒取關！！

其實專欄是一直想更的，但是由於最近拖稿癌爆發，再加上三次元中又遇到一點不順心的事，所以拖到現在才發了第一篇文章，在這裡先給各位訂閱的大大們說聲對不起<(_ _)>

關於軌道這個領域，我也只是個初學者（俗稱萌新）。本身當時開這個專欄的目的就不是為了科普，而是算是督促自己學習的一個手段，因為每寫一篇文章都必須要自己先把這個問題弄懂，不然的話光是抄公式自己也沒有什麼收穫。這樣的話，這個專欄可能就更像自己學習過程中的一個筆記本，外加一些無意義的賣萌→_→

第一篇文章是講的圓錐曲線軌道的推導過程，本身這種問題就不可能繞開公式，所以公式這麼多也沒有辦法。文章中展示的並不是最簡單的推導方法，有些地方可能有些啰嗦，但我要確保的是以自己的水平能夠完全理解文中的所有推導，因此啰嗦的部分全當給自己做批註了_(:з」∠)_

最後，希望各位大大能多提寶貴意見，如果文中有什麼錯誤請毫不留情地指出，我會馬上修改。謝謝滋茲～