打架（一般的一對一）

這篇小東西旨在記錄一個關於打架的結果，來自Konrad和Kovenock (2006)。關於簡單的一對一打架和一般的多對多打架，可以分別參見為何愛荷華州和新罕布希爾州對大選如此重要？ - 豬月的回答和http://zhuanlan.zhihu.com/econzy/20501145。一些背景介紹，比如說何為all-pay auction，以及為何可以將打架，以及類似的競爭情形建模成all-pay auction都有介紹。

在Klumpp和Polborn的模型中，兩個競爭個體具有高度的同質性，這一點假設在現實中可能不存在。此外，他們假定，比賽的結果雖然與雙方投入的努力都有關，但知識一個概率。也就是說，即使一方的投入少於另一方，這也只是意味著他獲勝的概率比較小。而另一種建模方法是直接假定投入更多的一方會在某場競賽中獲勝，這也更符合all-pay auction的設定。這篇論文的分析需要使用Hillary和Riley在1989年證明的經典結果：在一場a和b之間進行的完全信息all-pay auction中，考慮雙方對標的物估值za>=zb>0，存在唯一的混合策略納什均衡。其中a的策略是0到zb上的均勻分布，b的策略在0處有一個正的概率(za-zb)/za，剩餘部分在0到zb上均勻分布。最後，在這個均衡下，b的期望效用為0，a的期望效用恰好是za-zb。

剩下部分運用的分析方法和前兩篇文章是類似的。兩位作者假定，雙方對贏得賽局的估值不同，分別是za>zb>0。不設總局數，而是只考慮勝利條件(n,m)，a先贏得n盤即宣告勝利，b先贏得m盤即贏得勝利，每贏得一局還有額外的效用d。這樣，每一局都可以看作一次單獨的all-pay auction。假如規則是(5,4)，而現在比賽的狀態是(3,3)，也就是a和b各自贏了3盤。那麼，記在狀態(i,j)下，雙方贏得賽局的概率是va(i,j)和vb(i,j)。則此時情況可以考慮成以下的all-pay auction：a的估值是[va(4,3)-va(3,4)]*za+d，b的估值是[vb(3,4)-vb(4,3)]*za-d。直接利用Hillary和Riley的引理就可以得到每一盤單獨的賽局雙方的努力策略。作者還假定，賽局的結果唯一取決於雙方付出的努力大小，付出努力多的獲勝。如果努力水平相同，則拋擲均勻硬幣打破僵局。這樣，給定狀態下每一賽局的結果都是確定的，我們只需要研究狀態的演變即可。

為分析這一點，兩位作者引入了分離狀態的概念。所謂分離狀態，可以想像成我們平時看球所說的生死之戰。繼續用上一段中的例子，考慮狀態(3,3)，如果這個狀態分離的，這就意味著va(3,2)=va(3,1)=va(3,0)=1，vb(3,2)=vb(3,1)=vb(3,0)=0，va(2,3)=va(1,3)=va(0,3)=0，vb(2,3)=vb(1,3)=vb(0,3)=1。換句話說，分離狀態是僅有的還能玩的局面。稍微偏離分離狀態一點點，勝負就已經欽點了，沒得玩了。從這裡馬上可以推出，給定比賽已經進行的總局數，分離狀態最多只有兩個，並且一定是挨著的。如果有三個分離狀態，那起碼有兩個不是挨著的，中間有一段空隙。這意味著v這個函數這空隙上既要為1又要為0，所以不可能。兩位作者進一步證明了：分離狀態必然存在。當給定已經進行的總局數時，分離狀態至多有2個。此外，一個狀態是分離狀態的充要條件是(j-1)/i<=za/zb<=j/(i-1)。

兩位作者首先討論了d=0的情形。此時賽局非平凡(non-trivial)當且僅當分離狀態的不等式滿足。所謂非平凡，指的是在接下來一局比賽中雙方都會投入正的努力。這也是容易理解的。如果分離狀態不等式不被滿足，考慮到分離狀態總是存在，這意味著此時場上狀態必然處於某個分離狀態的一側，即va*vb=0。既然已經有一方對未來的估值為0，而此時d又等於0，這意味著比賽的價值對他/她來說已經是0了，那自然他/她也就不會再投入任何的努力，另一方不費吹灰之力就可以贏得比賽。這是我們就說比賽是平凡的，也可以說已經毫無懸念了。

最後，兩位作者討論了d不等於0的情況，此時很容易導出，每一狀態都是非平凡的。為證明這一點，回溯到開頭Hillary和Riley的定理，此時雙方對比賽的估值都起碼是d，所以起碼在0到d這個支撐集上會付出正的努力。我們可能還記得，在多對多的情形中，雙方的估值函數具有一種非常簡潔的對稱性，大大簡化了全文的分析。實際上此處我們也有類似的對稱性，即使對於d不等於0也成立。兩位作者證明了，除非一方已經取得勝利，否則，給定狀態(i,k-i)，它和(i-1,k-1)以及(i,k-i-1)這兩個狀態之間的轉移概率是1/2，是確定的。此外，這一結果對於任意的d>0都成立。

這一結果是非常反直覺，意味著我們看見的競賽，或者比賽，懸念要比我們一般認為的來得大。優勢方傾頹和劣勢方奮起直追都不是小概率事件。在此基礎上，如果給定初始參數，我們可以計算均衡情況下雙方的努力程度和獲勝概率。另一點令人很感興趣的是，即使假定za=zb，均衡努力和獲勝概率也可能不是單調的。並非領先得越多就越可能獲勝。以上的圖片給出了一種可能，其中za=zb，給定b獲勝j盤，可以看到，a的最優努力和獲勝概率並不是單調的。這也是個人認為Knorad和Kovenock這篇文章最有意思的一點。

參考文獻：

Konrad K A, Kovenock D. Multi-battle contests[J]. Games and Economic Behavior, 2009, 66(1): 256-274.

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