斜航線介紹

斜航線(Loxodrome)又叫恆向線，顧名思義，它是基於船舶航行背景的。Loxodrome最初是一個希臘詞，loxos的意思是oblique，即是傾斜的，dromos是bearing，方位的意思。後來在17世紀這個詞為了解釋Nune這方面的工作時，被人拉丁化了，成為一個拉丁詞語。我們也用Rhumb(或Rhumb Line)這個詞代替之。實際上呢，比較摳門的人是有區別這兩個名詞的，他們的Rhumb是特指恆定的方位，而把loxodrome是指這條運動曲線。

斜航線的定義就是：在地球上保持恆定方位的運動路徑。比如，始終朝著北偏東30度方向運動。基於航海背景的原因，為了統一文章的表述，我們就把這種運動就直接稱之為航行就好了。

進一步的，對於地球而言，定義方向的最好手段，不是在夜晚的北半球尋找北極星以外，而是利用羅盤，利用地磁場，並且我們近似認為磁南北極和北南極重合。這樣，呈現在地圖上，經線就是我們判斷方向的最好依據。當然，地圖上還有緯線，但是還原到地球本身上去時，我們會發現，緯線都是閉合的並沒有方向性，給一條緯線，並不知道哪邊是東哪邊是西，也就是說東西實際上是相對的。當然，其實最主要的原因還是南北極能在指南針中很好的識別，何苦再去弄一些不方便的東西。

所以，我們得到斜航線就是滿足在曲線上每一點的切線都和過改點的經線交出同樣大小的角度的曲線。因此，每條緯線都是一個斜航線(看起來好像不斜哈)，每兩條對應的經線組成的經線圈也是斜航線。在地圖上，這兩種斜航線，是唯一不是無限長的斜航線。其餘的所有的斜航線易知都是趨向於南北極的，理論上是到達不了南北極。這些斜航線的赤道平面投影是對數螺線，參見斜航線的進一步研究--對數螺線的發現。

我們想要了解其存在的意義，就必須真正知道其存在的意義。因為，除了前面說的經線圈和0度緯線，斜航線顯然都不是大圓，所以它並不是兩點之間最短的航線。之所以不選擇最短的的大圓作為航行時的航線，其實是有原因的。這是因為，對於一般的情況，要做到沿著最短航線航行實際上是要一直調整船舶的航向的。看過Titanic的都知道，船上的舵不是一直都有人在那裡轉的，而且不遇上冰山或者船長命令什麼的根本就不會理它。如今的航線，實際上既不是大圓也不是完全的斜航線，而是多個斜航線複合在一起，在一段路程內會適當調節的航線，並且這個航線是接近於大圓的。但是，幾百年前，當時還處於探索海洋的階段，要做到直接找到大圓的航線，顯然是不可能的。

實際上，斜航線的理論也是在航海探索之後才出現的。這自然要追述到最初有人開始相信地球並不是平的的時候，自那以後，航海家們就意識到為什麼明明在北偏東30度的地方，我一直都是北偏東30度的航行，最後發現會有所偏差。好吧，這個例子是我編的，我想這之前，他們還沒有這麼遠的航行，或者把這個現象歸結於其他很多各種誤差吧。意識到這一點的真正故事後面會講到。

在Introduction中還有一個很重要的概念要講到，Mercator Projection(墨卡托投影法).又稱正軸等角圓柱投影。圓柱投影的一種，由荷蘭地圖學家墨卡托（G.Mercator）於1569年創擬。為地圖投影方法中影響最大的。

設想一個與地軸方向一致的圓柱切於或割於地球，按等角條件將經緯網投影到圓柱面上，將圓柱面展為平面後，得平面經緯線網。投影后經線是一組豎直的等距離平行直線，緯線是垂直於經線的一組平行直線。各相鄰緯線間隔由赤道向兩極增大。該投影具有斜航線被表示成直線的特性，故廣泛用於編製航海圖和航空圖等。

歷史

在正式講歷史之前，先預告一下，講完歷史之後接下來的工作，主要體現在三個方面，墨卡托投影的構建；在地圖上兩點如何找斜航線；如何計算兩點之間的斜航線的距離。

航海的背景想必大家都已經知道，從15世紀末開始，就有一大批熱血青年為了美好的未來奮鬥在茫茫的大西洋上，雖然充滿了未知和敬畏，但是他們還是勇敢的探索著。顯然，人的膽量還是有限度的，當最初對大西洋深處一無所知的時候，航海家們還是小心翼翼地沿著歐洲非洲大陸的邊緣探索，其中比較有代表性的就是達伽馬。看看這段時期的地圖就可以發現，地圖上充滿著黑色的未知的世界，所了解的海洋或者海島都是靠近大陸的。有趣的是，第一個沿著海邊航行的迪亞士當他航行過了赤道後，就發現找不到北極星了。晚上航行的安全感就少了不少，於是就回去了。相比他應該跟堅信地球是球體了，同時，也給當時的地圖帶來了新的緯度——南緯。所以之後哥倫布才會帶著這樣堅定的信念，開始往西航行了。在他之後的Amerigo(1501)沿著美洲東海岸到達了南美。這之後，人人漸漸發現，經線之間的距離不是均勻的。

由於當時航線是一個國家尤其是像葡萄牙這樣的海洋國家的命脈，葡萄牙的國王還禁止了地球儀在航行中的使用。他們怕他們的技術被其他國家偷去。但是這絲毫不會影響航海事件如潮水般的洶湧。在1543年，終於有一個做理論的人出現了，他的名字叫Pedro Nunes。他明確提出了斜航線的概念，並且粗略的用他的理論給航海家們以指導。開創性的工作是屬於其後的Mercator於1569做出來的。Mercator做出了前文提到的Mercator』s Projection,並且繪製了第一張投影后的地圖。地圖上，兩個地點用直線表示，給定了航向方位角，船舶很容易利用這樣的地圖在大海中航向。類似於伽利略的狀況，Mercator和Nunes都受到了當時基督教會的庭審。所以，最後Nunes搞哲學去了，Mercator還坐了7個月的牢。不過，由於那時候還沒有微積分，所以，理論上的東西也多是以幾何的形式來表達近似的。

一些問題

在歷史講述開始之前，我們已經提及了這節要講的內容。首先是關於Mercator投影的。前面已經說到，Mercator是保角的，所以投影后的在角度上是不會扭曲的，只是在位置上會產生扭曲，並且是緯度的方向(包括可分解到緯度)的長度會變化。既然是保角而且正軸，所以經線都是彼此平行的，緯線也是如此，並且長度變得一樣了。

我們將σ(L)定義為緯度為L時的「局部拉伸因子」，如果假定地球是個球體，在Mercator的地圖上顯然有σ(L)=sec L.如果還要考慮離心率的話，公式就會稍微複雜一點，

地球的偏心率是大概0.08吧。接下來，有局部的拉伸因子，就可以算出總的拉伸量了。定義從赤道到L緯線的總拉伸量. Σ(L)就是在地圖中，緯線L到達赤道的垂直距離。

在Mercator地圖裡面，直線可以用Σ(L)和經度M來線性表示，Σ-Σ(L1)=a(M-M1).所以，對於任意的兩點來說，斜率或者是斜航線的方位就滿足：

,

其中θ是與北極軸（地軸）所夾的角。

最後計算一下兩點之間的最短的斜航線的距離。在球面幾何里，弧長公式為：

於是有：

所以兩點之間的距離為：

進一步由a與θ的關係可知：

如果直接帶入a關於M和Σ的關係式，則有

對於球體來說，就有

可以對比一下兩點間大圓的距離公式：

以下是一些實際航行的數據：

最後重申一句，兩點之間的斜航線有無窮多個，上述公式都是求最短的。

有一點，就是當θ不等於0或者90度時，即一般的斜航線都會無窮趨近於南北極，這時南北極都是「奇異點」。在球面上畫滿θ=0的斜航線，形成的斜航線簇南北極是結點，θ=90度的斜航線簇，南北極為中心。