物理量（尤其是矢量）的單位是如何參與運算的？

02-02

問題來源：利用畢奧薩伐爾定律計算時不小心把其中的單位矢量當做了有單位的量算了進去導致錯誤
具體問題如下
1矢量運算中物理量的單位是如何參與運算的？首先，數學中的矢量包括單位矢量是沒有單位的，計算時也是數字的計算，不涉及單位；標量運算應該就是數量帶單位進行加減乘除一類的計算那麼單位也就跟著加減乘除了。物理量的矢量是有單位的，但是可以看到用數學方法描述物理量的，比如建oxyz系，單位矢量ijk，力F又用沒有單位的ijk來描述，那麼單位去哪了？這組ijk也可以用於描述加速度速度等等物理量，那麼ijk就不能有單位。

數學的矢量沒單位，物理的矢量有單位，那麼單位是哪來的呢？後加上的？
矢量運算之後得到的物理量的單位又是哪來的？數學只計算大小，寫成物理量要加單位？看起來和標量運算是類似的
2 單位矢量都是作為沒有單位的量嗎？比如dl叉乘r0（單位矢量）的結果是單位與l相同的矢量（而非與l·r相同）
最後我的想法標量的單位運算可能也是用習慣了就沒在意是不是物理量運算方向大小單位都要分割來算？就好像把任何矢量看做大小乘單位矢量單位又該怎麼算？主要是有的單位矢量沒單位啊

問題比較基礎吧看了幾本書都沒有但是一直希望能把這點東西理順謝謝

單位是一個物理量除了數值之外的東西，對於矢量標量沒區別的，該咋算就咋算。。

我舉個例子，2個蘋果，2個香蕉，2既可以用來描述蘋果也能用來描述香蕉，2本身是沒有單位的，後面對應的蘋果或是香蕉才是單位。。

有些是無量綱物理量，比如單位矢量，本身就是沒有量綱的，只表示方向而已，量綱是你認為後來賦予的用來描述某個物理量的。。

我也不太清楚你覺得困惑的地方在哪裡，可能這個就涉及到小學時學習帶數量單位的時候了，比如1元，1米，1個什麼的。。只能建議你看看wiki關於單位制的介紹，說不定有幫助。。

矢量由「大小」和「方向」組成，而標量只有「大小」。

至於「大小」這個東西呢，又普遍地可以分為「數值」和「單位」。

只有量綱（「單位」）相同的東西，才能相互加減，而乘除則沒有這個限制。

另外，我們一般稱「單位」為1的東西為「無量綱」，所有的超越函數，比如sin，exp乃至Bessel函數等，都只能作用在無量綱量上。

ln函數是個例外。因為ln函數有ln (xy)=ln x+ln y的性質，所以ln函數的自變數可以取任意量綱，只要化簡之後為無量綱即可。

回到題主的問題，我的回答是，矢量性和量綱是相互獨立的兩個性質。單位矢量的「數值」和「單位」都為1，所以只表示方向。換句話說，所有單位矢量或者說單位向量，都是無量綱量，並不表示長度。所有的量綱都不含在單位向量中。

中學生程度，矢量之間的運算有三種，一是相加，那麼結果單位和原來一樣；一是點乘，這樣得到一個數字，單位是矢量長度單位的平方，三是叉乘或外積，複雜的就在這裡。照理說單位應該是有向面積(用基底的語言就是單位是兩個矢量單位的外積)，但三維空間平面方向和它的法向一一對應，所以把叉乘單位改成法向方向。