做題的時候有個疑問,X×X上的拓撲一定是積拓撲么?

這是Munkres拓撲學第20節習題3.

X是一個度量空間,度量為d. 證明d: X×X -&> R是連續的.

在題主看來, 我們應該先說明 X×X 上的拓撲是什麼, 才能去考慮這個函數是否連續. 答案似乎默認X×X上的拓撲是積拓撲, 然而如果我們在X×X上任意定義一個拓撲, 還能保證d是連續的么?應該不能吧

那麼現在有三種可能:

1. 題目不嚴謹

2. 題主沒有正確理解符號,X×X這個符號的意思就包含了X×X中的拓撲是積拓撲

3. 題主too simple, 其實你不管怎麼在X×X上定義拓撲, 這個函數始終是連續的.

希望這樣一個疑問是有點價值的 題主還要繼續學習一個

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謝邀。首次被邀，哪怕問題比較老生常談、自己也不做點集拓撲，但仍然硬著頭皮從代數拓撲和範疇論的觀點認真答一發。

== 老實答題 ==

1. 題目陳述可能確實不嚴謹，剛剛粗略翻了翻Munkres，似乎沒有明確提到「積空間上總取積拓撲」的默認。當然我學習Munkres之時已是三年多前，記憶不免有所偏差；歡迎指正。

3. 認為自己too simple的想法too simple：如果對取平凡拓撲（只有兩個開集），那麼函數幾乎總不連續——除非對也取平凡拓撲。當然，如果我們走另一個極端，對取離散拓撲（所有集合都是開集），那麼就總是連續的。

2. 確實，在點集拓撲的世界（拓撲空間範疇）裡面，對於有限個空間的乘積，我們默認幾乎總是取積拓撲（等價於盒拓撲，如另外的答案所言）。對於任意族空間的乘積，我們默認取積拓撲而非盒拓撲；兩者並不總是等價。詳見Munkres定理19.1及緊隨其後的討論。然而：

問題 1。為什麼取積拓撲？

答案：積拓撲更「自然」。

但是為什麼呢？尤其考慮到盒拓撲的描述比積拓撲優雅這麼多，為什麼在它們並不等價的情形中，更「自然」的竟是後者而非前者？要給出一個準確的描述，我們要用到範疇論的思想。考慮到Munkres的點集拓撲的讀者可能並不是濫用抽象廢話的對象，我試圖過濾掉範疇論的語言。

== 範疇思想初探 ==

數學討論常常涉及「自然性」的概念，而在嘗試將這個概念公理化的過程中，我們得到了一套理論，就是讓許多初學者（包括一年多前的我）望而犯愁的範疇論。至少對於乘積而言，這個問題是比較好討論的：

哲學問題。乘積應該具備怎麼樣的自然性(naturality)？

直觀地說，乘積應當總覽各個因子的信息，不多也不少。「信息」在範疇論中就是對象之間的所謂的「態射」；在點集拓撲的世界裡，拓撲空間的信息應該就是連續函數。粗略地說，給定一族拓撲空間，我們希望涉及到它們的連續函數等價於只涉及它們的乘積的連續函數；更精確的版本是：

問題 2。給定空間和，是否存在另一空間，使得：

1) 兩個分別從和到任意的連續函數，等價於一個從到的連續函數；即給出兩個連續函數和，等同於給出一個連續函數；

2) 兩個分別從任意到和的連續函數，等價於一個從到的連續函數。

不幸的是，這個問題的解答一般是否定的——哪怕放棄連續性，以上的條件在集合和函數的世界（集合範疇）里就已經不成立。於是我們退而求其次，希望找出一個以滿足條件1)，然後另找一個以滿足條件2)。雖然我們最終目的是研究拓撲空間，我們仍然先忘卻連續性，在集合的世界裡先構造這麼兩個集合：

練習：檢驗，在集合和函數（不必連續）的層面上，，。

特別地，觀察兩集合的勢就可以發現它們大部分時候沒有一一映照的可能，從而給出對問題 2 的否定回答。

問題 2.1。給定空間和，是否存在另一空間，使得條件1)成立？

由以上的討論我們知道，作為集合就是，因此問題 2.1 就是問題 1 的範疇論重述：上取什麼拓撲才「自然」？對於這個問題，Munkres定理19.6聲明，在這個意義下，積拓撲最自然。

練習：類比地提出「問題2.2」、試圖描述一個在不交並上的拓撲、參考Munkres定理19.6陳述一個類比的定理、並證明之。

對這個問題的回答所得到的空間就是上積空間；無論其拓撲的描述多麼優雅或醜陋，都是「並拓撲」的自然定義。

練習：將問題 2 及其變種推廣到任意族的積空間和上積空間，並檢驗此前對這兩個空間的拓撲的描述是否可以直接推廣。

很顯然，以上給出的理由是範疇論的、代數拓撲的；對於點集拓撲而言，積拓撲更美妙的一大理由是Tychonoff定理（Munkres第37節）：任意族緊空間的乘積（取積拓撲）都是緊空間。

練習：若積空間取盒拓撲，找出Tychonoff定理的反例。

提示：取每個因子都為離散空間的無窮乘積。

== 代數拓撲亂入 ==

最後，我回答這個問題的動機其實是如下觀點：積拓撲不是唯一自然的拓撲，尤其不是代數拓撲學家/同倫論家所喜愛的拓撲——它「稍稍粗糙了一點點」，理由如下。在集合中我們有一個非常漂亮的結論：

冪定理。對於集合和，我們記從到的所有函數的集合為；那麼我們總有雙射。

練習：證明之。

在拓撲空間中，我們也有類比的空間，稱為函數空間：它的元素是從到的所有連續函數，它的拓撲稱為緊-開拓撲，有如下描述：給定中任意緊集和中任意開集，我們聲稱所有將映到裡面的連續函數的集合為開集（即這些集合組成一組subbasis）。不幸的是，在拓撲空間中冪定理並不成立。要修補這個缺陷，我們有兩個折中方案：一是「優化」積空間，二是「優化」函數空間。主流的操作是前者：對每一個空間，我們稍稍修改它的拓撲使其更為精細（取包含原拓撲的最疏的緊生成（弱）豪斯多夫拓撲；見https://zh.wikipedia.org/wiki/緊生成空間），得到的空間記為稱為。這個「優化」過程也十分「自然」：給定連續函數，經過優化後函數仍然連續。然而有趣的是，哪怕我們假設空間和「不需要優化」，我們也不能保證它們的乘積也不需要。因此，我們必須「安全起見」，對於空間的乘積再優化一次；換言之，在這類「優化空間」的世界裡，積拓撲並不自然，自然的是取積拓撲後再對其進行「優化」。奇妙的是，經過這種優化之後，冪定理就成立了（當然了，把雙射換成同胚）。

總結一下，積拓撲只是笛卡爾積上的其中一個拓撲，只是恰好在拓撲空間的世界裡是自然的。在別的涉及拓撲空間的世界裡，尤其是代數拓撲和同倫論的日常使用中，更自然的其實是更精細一丟丟的別的拓撲。更一般地，「自然性」的意義完全取決於你所處的世界，也即我們使用的範疇。在任意範疇中，積（或上積）都可以由一類稱為泛性質的條件刻畫（雖然不一定存在）；很多時候我們都有一個（上）積對象的樸素候選，但它到底是不是真正意義上的（上）積，只有檢驗其是否滿足泛性質才能告訴我們——當然了，前提是你相信範疇論的話。

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3的一個好玩的反例

k^{m+n}上的Zariski拓撲並不等於k^m imes k^n Zariski拓撲的積拓撲

k是域

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這種問題不算是有數學價值的。就像你為什麼不問定義open時沒有提到related to which topology. Formal的定義Kelley書上給出為open relative to T. 再比如你為什麼不問在一個拓撲空間X的子集A上定義的拓撲就是所有這樣的集合：。

首先上可以定義的兩種拓撲(Box Product Topology)是等價的。我們默認提到卡積上的拓撲時，我們始終想到的是這兩種拓撲。

順便Munkres的書讀起來不要這麼糾結細節，這些定義只要make sense就好，你懂得如何去用這些定義，並且通過圖形等理解了這些定義後，這就夠了。

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