「羊車門」經典概率題中不換門選中車的概率是多少？

搜了一圈，竟然沒有在知乎上發現這一道經典的概率題。

假設你在進行一個遊戲節目。現給三扇門供你選擇：一扇門後面是一輛轎車，另兩扇門後面分別都是一頭山羊。你的目的當然是要想得到比較值錢的轎車，但你卻並不能看到門後面的真實情況。主持人先讓你作第一次選擇。在你選擇了一扇門後， 知道其餘兩扇門後面是什麼的主持人，打開了另一扇門給你看，而且，當然，那裡 有一頭山羊。現在主持人告訴你，你還有一次選擇的機會。那麼，請你考慮一下，你是堅持第一次的選擇不變，還是改變第一次的選擇，更有可能得到轎車？

引用自奧卡姆剃刀的博客史上最強的「羊車門」分析

在論壇上搜索了好多網友的答案，發現大部分都是說不換的概率是1/2或1/3，但是誰也不能說服誰，就想把這道問題搬到知乎上來求解。希望各位知友在回答的時候能夠同時駁斥另一種答案的思路錯誤，以便能夠形成有效的討論。

由我先來吧，我個人是認為不換的話選中車的概率是1/2，理由如下：

不換的話一共能夠形成四種等概率的最終結果：

一是一開始選中車，主持人開羊1；

二是一開始選中車，主持人開羊2；

三是一開始選中羊1，主持人開羊2；

四是一開始選中羊2，主持人開羊1。

故不換門的概率是1/2。

希望有知友能夠駁斥我的演算法並提出自己的解題思路：）

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

看了其他知友的回答，基本上都是通過使用條件概率的計算方法得出不換的概率只有1/3。但是我覺得這一個題目不適用條件概率的計算方法。因為條件概率求的是」事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率「。這個遊戲當中，事件A是抽中車，事件B是主持人開羊的門。由於羊有兩隻，故主持人開門的概率是100%，且沒有提供出選手抽中車的任何信息。故事件A和事件B是獨立事件，故P（A|B）=P（AB）/P（B）=P（A）=1/2。

有人會說P（A）應該是1/3，但是實際上以上假設中事件A是抽中車，而不是」第一次選擇即抽中車「。在以上遊戲中，選手第一次選選門和主持人開門雖然時間上具有先後順序，但是因為主持人開門沒有提供出任何信息，故在概率上兩者等價於同時發生。

就像在3個球（2個白球，1個紅球）裡面不放回，也不觀看結果的連續抽取2個球，抽中紅球的概率等價於一次性抽取兩個球。如果在抽球的時候允許選手觀看結果，則第一次即抽中的概率是1/3，需要進行第二次抽球的概率是2/3，第二次抽中的概率是1/2,，故總的概率=1/3+2/3*1/2=2/3。但是是否發生第二次抽球是不確定的。

而在羊車門的遊戲當中，已經確定主持人開門的概率是100%，故該遊戲從結果上就是讓選手2選1。

PS：分隔線上第一次支持1/2的理由不是很合適，請大家自動忽略吧，直接針對第二次進行反駁就可以啦。但是為了體現出討論的過程，就仍然保留著啦。（其實我的本意是第一次選車和主持人開門是一起發生的事件，所以只能產生4種結果。就像是投擲一次4面的骰子出現的結果一樣。如果不用條件概率的觀點拆分成兩個事件的話，4種結果的確是等概率的。）

---

選好以後，未選到的兩扇門中有車的概率是2/3，主持人打開有羊的以後，剩下的一扇門中有車的概率是2/3，所以換的話概率會更大。

最後所說的四個事件不是等可能的，用條件概率可以計算第一個概率是1/2，第二個1/2，第三個是1，第四個也是1。

---

首先 換和不換加起來肯定是1，你就兩個選擇 其中必有一個有車拿~

題主的錯誤在於你的這四個分類不是等概率的，前兩個是1/6 後兩個是1/3。

這個其實關鍵是搞懂主持人加了一個什麼條件.

主持人並不是上來斃了一隻羊讓你選，而是，在你選剩下的兩個門裡面斃一個羊。換句話說，如果你一開始選了羊，那主持人沒得選，只有一隻羊給他斃。

具體概率把情況枚舉一下就很清楚了，如果決定換。一開始如果選羊，換了必是車；反之，換了必是羊。前者概率2/3，後者1/3。

這個問題推廣一下：m個羊，n個車，主持人斃掉l個羊。可以給一個結果的表達式：

如果換的話，拿到車的概率是：m/(m+n) *n/(m+n-l-1) +n/(m+n) *(n-1)/(m+n-l-1)

不換的話，就是n/(m+n)

做一下差可以發現：換了肯定拿車概率變高

做一下和可以發現：現在加起來不一定是1了（小於1），因為兩者可能都沒拿到車。

---

1、這個問題在知乎有，我不知道你為什麼搜不到：

車 羊 三個門 - 搜索結果

2、你的思路錯的如此的明顯：

一是一開始選中車，主持人開羊1；

二是一開始選中車，主持人開羊2；

三是一開始選中羊1，主持人開羊2；

四是一開始選中羊2，主持人開羊1。

這四個情況哪裡等概率了：

一是一開始選中車，主持人開羊1；

二是一開始選中車，主持人開羊2；

這是一種情況

所以正確的演算法是：

一是一開始選中車，主持人開羊1或羊2；

二是一開始選中羊1，主持人開羊2；

三是一開始選中羊2，主持人開羊1。

隨便舉個栗子你就知道這種演算法的荒謬了。

桌上有一片西瓜，你丟個硬幣決定自己吃不吃這片西瓜。

請問你吃西瓜的概率是多少？

1/2對吧？很顯然的。

慢著，如果你選擇不吃西瓜，我再丟個硬幣決定吃不吃西瓜，按照你的演算法，你吃西瓜的概率突然就變成1/3了。

因為有三種情況：

一是你吃西瓜，我沒得吃

二是你不吃西瓜，我吃西瓜

三是你不吃西瓜，我也不吃西瓜

自己琢磨吧。

其實如果按照這種演算法，我加上無窮多的人，你吃西瓜的概率直接就到0了。

一是你吃西瓜，A1沒得吃

二是你不吃西瓜，A1吃西瓜

三是你不吃西瓜，A1也不吃西瓜，A2吃西瓜

……

n是你不吃西瓜，A1到An-2不吃西瓜，An-1吃西瓜。

=================================================================

補充一下好了，事實上蒙提霍爾問題成立的條件是很苛刻的，所以下面很多舉的栗子其實是錯的。

蒙提霍爾問題成立的關鍵在於，主持人打開一個門必須是必然發生的事情，也就是說主持人沒有選擇打開，或者不打開門的權利。也就是在節目流程中，主持人是必須要打開一個門的，在這個條件下，蒙提霍爾問題的概率才是換2/3中獎，不換1/3中獎。

其實簡單思考一下就能知道，如果主持人可以選擇推開或不推開一扇門，並且主持人一定知道每扇門後面是山羊還是跑車。那麼，主持人可以選擇在你選中了車的時候推開門，而在你沒有選中車的時候，不推開門。

在這種情況下，如果你的策略是主持人若是推開一扇門你就換，不推開你就不換，你的中獎概率將直接到0。

如果你的策略是不論主持人推開門或不推開門都換，你的中獎概率是1/3。

如果你的策略是絕對不換，那麼中獎概率是1/3。

當然，主持人還可以採取其他更複雜的策略，這時候你的策略也會獲得不同的中獎概率，無論如何，堅守不換的情況，你的概率將恆定在1/3。

這是一個有趣的問題，記住他的結論當然很重要，但更重要的是記住這個結論的約束條件。

---

直接表述我對問題的理解吧，忽略不重要的細節。

設總共有N扇門，其中某一扇門後面有車。

策略一：我選擇某扇門，在主持人提示之後，不變更選擇。

實質：決定我中獎的，是「我一次選中了有車的門」這一事件A，與後續事件無關。

事件概率/中獎概率：

策略二：我選擇某扇門，在主持人提示之後，變更選擇。

實質：決定我中獎的，是兩個事件的發生：

• 　　事件B. 我第一次選擇了無車的門；

• 　　事件C. 在事件B發生的條件下，我在剩餘可選的門中選擇了有車的門。（此時，除去第一次選擇的門和主持人打開的門，剩餘的可選的門只有N-2扇）

事件概率：

• ；

• ；

中獎概率：

比較上述情況可知：；

即變更選擇是更優策略。

舉例：

設N=3，依據上述公式，策略一中獎的概率是0.333，策略二是0.667；

設N=5，依據上述公式，策略一中獎的概率是0.200，策略二是0.267；

作為練習，我用Python進行了簡單的模擬，如下。

import random

def monte(N=3, rechoose=False):
# Setup scenary.
doors = list(range(N))
reward = random.choice(doors)
# My choice.
mychoi = random.choice(doors)
# The hosts possible hint, excluding
# - my choice
# - the reward.
tdoors = doors[:]
tdoors.remove(mychoi)
if reward != mychoi:
tdoors.remove(reward)
tempta = random.choice(tdoors)
# My second choice, excluding
# - the first choice
# - the hosts temptation
if rechoose:
doors.remove(mychoi)
doors.remove(tempta)
mychoi = random.choice(doors)
return reward == mychoi


測試運行結果。

T = 100000

# 例一
In [1]: sum(monte(N=3) for _ in range(T)) / T
Out[1]: 0.332977

In [2]: sum(monte(N=3,rechoose=True) for _ in range(T)) / T
Out[2]: 0.667285

# 例二
In [3]: sum(monte(N=5) for _ in range(T)) / T
Out[3]: 0.200164

In [4]: sum(monte(N=5,rechoose=True) for _ in range(T)) / T
Out[4]: 0.266301


可見上述推導和模擬結果是一致的。

---

我把問題換一下吧。只要量變大了，那麼就能感覺直觀點了吧。

主辦方放了十萬張票出來，跟你說這裡只有一張票可以中獎，你抽吧。

猶豫不決的你好不容易決定了要抽第2981號票。此時，主辦問你決定好了嗎？而你感受到手中第2981號的靈氣，一咬牙就決定下來了。

「好！看來你已經想清楚了。但是，我決定再誘惑你一次。」

主辦從剩餘那近十萬張票抽出一張票，然後把其他票都扔碎紙機里了。

「我可以保證其他那九萬九千九百九十八張票都不是中獎的票。而現在你可以再選擇一次，是想要我手中這張還是堅持你手中那張？」

此時的你又猶豫了，決定冷靜下來分析一下問題。

在第一次抽時，你抽到的幾率明顯是十萬分之一。而剩下的票里有中獎的票的幾率是1減十萬分之一。那麼現在主辦保證把剩下的票的數量縮小到一後，那麼剩下來的那張票中獎幾率不就是99999/100000嗎！

這個差距太懸殊了，你毅然決定要換。

主辦方不高興了，問你真的要換嗎？

很顯然，你並不會放過這個致富機會，你點了點頭。

「好吧，讓我們一起來見證這個時刻！請你打開我剛給你的那個信封吧！哦，不敢相信，這裡面居然寫著，多謝惠顧！看來這位嘉賓是非中非，酋中酋啊！」

---

你的理由中一和二加起來的概率是1/3，三是1/3，四是1/3，所以，不換的概率是1/3！

---

這個遊戲我玩過，而且玩過198次……一共兩輪，每輪99次。

————————————

第一輪99次

我第一次選擇中，有33次羊A，33次羊B，33次車。

主持人幹掉了一隻羊

我沒換。

於是我領走了66隻羊和33台車。

————————————

第二輪99次，

我第一次選擇中，有33次羊A，33次羊B，33次車。

主持人幹掉了一隻羊

我換了。

於是我領走了66台車和33隻羊。

————————————

現在問題來了……

這99台車和99隻羊該怎麼處理呢……

---

假設你在進行一個遊戲節目。現給三扇門供你選擇：一扇門後面是一輛轎車，另兩扇門後面分別都是一頭山羊。你的目的當然是要想得到比較值錢的轎車，但你卻並不能看到門後面的真實情況。主持人先讓你作第一次選擇。在你選擇了一扇門後， 知道其餘兩扇門後面是什麼的主持人，打開了另一扇門給你看，而且，當然，那裡 有一頭山羊。現在主持人告訴你，你還有一次選擇的機會。那麼，請你考慮一下，你是堅持第一次的選擇不變，還是改變第一次的選擇，更有可能得到轎車？

關於車羊門問題的一個新解。

1/2和1/3都是對的，但前提不同。

首先，什麼是概率呢？

古典概率的定義是這樣的

如果一個試驗滿足兩條：

（1）試驗只有有限個基本結果；

（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。

這樣的試驗便是古典試驗。

對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為：P（A）=m/n，其中n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。 這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。

車羊門問題只有有限個結果。但每個結果出現的可能性是否一樣，就需要我們動動腦筋了。首先是你的選擇與主持人的選擇是有關的。而且主持人的行動還會參考你所未知的條件。最最重要的是，你自己站在大獎面前，心中忐忑不安，還會想著，要是我一開始沒選對，主持人是不是就不玩這個換門的把戲了？

貝葉斯概率是由貝葉斯理論所提供的一種對概率的解釋，它採用將概率定義為某人對一個命題信任的程度的概念。

看起來，這個問題由貝葉斯概率來解釋才更為靠譜。或者說，對於期待單次結果的實驗，概率其實並沒有意義，有意義的是你的信賴度，而古典概率只是構成你信賴度的一部分條件而已。

就本題而言，如果你不信任主持人和電視台，認為他們根本發不起汽車，但也不至於給你放3頭羊，那麼不換就好，不換的概率肯定是大於等於1/2；如果你覺得自己近來運氣爆棚，不可能選錯，那也滿可以把不換得到車的概率設定成99.99%，留個0.01%是怕你後悔；

如果選擇無視掉自己的第一次選擇和主持人的建議板塊，只看最後一步，二選一，不用說答案就是1/2；

如果電視台客觀公正，而且每次都是這樣流程，問題也很簡單，第一次選中車的概率也就是不換得到車的概率1/3。剩下就是換得到車的概率。

重複一遍，對於期待單次結果的實驗，概率其實並沒有意義，有意義的是你的信賴度。

---

選中羊1，主持人必然開羊2 =1/3 *1 換必中

選中羊2，主持人必然開羊1= 1/3 *1 換必中

選中車，主持人可能開羊1=1/3 *1/2 換必不中

選中車，主持人可能開羊2=1/3*1/2 換必不中

所以應該換

---

很多人都忽略了兩種情況要分別討論，而是只討論了一種情況

這兩種情況是：

1，主持人隨機開門

開到羊就給你換的機會，開到車遊戲結束

2，主持人知道門後情況，故意開有羊的門

綜藝節目的惡趣味大家都懂的，就是要逗你，好形成一種「傻逼了吧」的效果

我們不知道主持人的想法，所以只能分別假設計算

令人欣慰的是，知乎上大家更多的考慮假設2，而虎撲bxj大多都在考慮假設1…

假設1的計算請參考高中課本

假設2的計算請參考樓上答案

結論：無論什麼假設，換了肯定不吃虧

此題證明完畢

---

你舉的例子根本不等概率

我個人是認為不換的話選中車的概率是0，理由如下：

不換的話一共能夠形成好多種等概率的最終結果：

一是一開始選中車，主持人開羊1；

二是一開始選中車，主持人開羊2；

三是一開始選中羊1，主持人猶豫1秒後開羊2；

四是一開始選中羊1，主持人猶豫2秒後開羊2；

五是一開始選中羊1，主持人猶豫3秒後開羊2；

六是一開始選中羊1，主持人猶豫4秒後開羊2；

七是一開始選中羊1，主持人猶豫5秒後開羊2；

....

所以一開始選中羊1有無限種可能，故選中車的概率是0

---

可以不可以這樣理解：假設把兩隻羊為兩個羊頭、兩段羊身、兩個羊尾巴；把一輛車分為車頭、車身、車尾。每扇門後面都是3塊物品（9個part隨機組合為3個大part）。在我隨機選門的時候 ，我認為門後面就是（兩個羊頭和一個車頭）。主持 人打開他這門以後，我驀然發現，原來，這扇門應該有的車尾巴被換成羊尾巴，成了兩個羊身子、一隻羊尾巴。而我手裡的有的只是車頭和兩個羊頭。只一扇門後面是車尾車身和一個羊尾巴啊。。。感覺明白了這9段是如何分配的一樣，所以我寧願去要那車尾和車身。各位大俠，我可以這樣 理解嗎？

---

在主持人開羊門後會有以下4種情況：

1.一開始選中車，主持人開羊1

(1/3)×(1/2)=1/6

2.一開始選中車，主持人開羊2

(1/3)×(1/2)=1/6

3.一開始選中羊1，主持人開羊2

1/3

4.一開始選中羊2，主持人開羊1

1/3

然後這時候假設你作出「改變選擇或堅持選擇」的決定是隨機的且概率相等各為1/2，根據以上的4種情況你會得到8種情況：

a.情況1，改變選擇，得到羊2

1/12

b.情況1，堅持選擇，得到車

1/12

c.情況2，改變選擇，得到羊1

1/12

d.情況2，堅持選擇，得到車

1/12

e.情況3，改變選擇，得到車

1/6

f.情況3，堅持選擇，得到羊1

1/6

g.情況4，改變選擇，得到車

1/6

h.情況4.，堅持選擇，得到羊2

1/6

總結一下以上8種情況：

一.堅持選擇，得到車

1/12+1/12=1/6

二.改變選擇，得到車

1/6+1/6=2/6

三.堅持選擇，得到羊

1/6+1/6=2/6

四.改變選擇，得到羊

1/12+1/12=1/6

所以說，

在你隨機決定堅持選擇或改變選擇且概率相等的條件下（比如說你拋硬幣，正面堅持選擇，背面改變選擇），得到羊和車的概率是一樣的，均為1/2；

在你主觀決定堅持選擇的條件下，得到車的概率為1/3；

在你主觀決定改變選擇的條件下，得到車的概率為2/3。

---

你們這幫大白痴！

首先，這個是三扇門，第一次選就選中車的概率是三分之一，定為事件A。

那麼，剩下的兩扇門選中車的概率是三分之二，定為事件B 。

這個時候你要明白，主持人是知道後面哪扇門是羊的，打開給你一看是羊。

這樣就是說，你如果選擇換，就是改為了事件B，概率三分之二。

不換就還是事件A概率三分之一。

你不能分開考慮，只能這樣，因為BUG是主持人，他知道後面是什麼玩意，而且一定給你留出羊那扇門看。

---

取決於答題者將「開門出羊」認定為是給定的條件，還是概率事件。

當「開門出羊「是給定條件時，」換門出車「的概率是1/2。

當「開門出羊「是概率事件時，」換門出車「的概率是2/3。

根據題意，將「開門出羊「看成給定條件更合理一些。

答這道題時可以對照著對「我有兩個小孩，已知至少有一男孩，求另一個是男孩概率（The Two Child Problem）」的這個解答錯在哪裡？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/22949328 這個問題來看。特別感謝 @張小雨 的精彩解答。

---

統計學大一新生來不專業地答一發:我覺得，這道題的關鍵是第一次抽中羊的幾率大於抽中車的幾率。要是我第一次抽到羊，那我一定能換到車。要是我第一次抽到車，那我就不能換。只要你知道了第一次的選項，接下來的選擇就是必然了。但是你不知道，因此你只能賭第一次，那肯定賭大的啊。你可以算一算，如果你要賭第二次，從旁觀者的角度看，中車的概率要麼和只賭第一次一樣，要麼為零。

---

我來用最簡單道理給你講。因為我也覺得是1/2，甚至和男朋友做了實驗。但你一當開始玩的時候你就明白了！

當主持人去掉一個一個羊之後。還剩一羊一車。如果你一開始就選對了換了就是錯了。

一開始對了錯了換了就是對了。

可是你一開始選錯的幾率大還是選對的幾率大？

選錯的幾率是2/3

選對的幾率是1/3

所以換的幾率大！

---

曾經跟各種人解釋，能明白的很快就明白了，不明白的就一直在自己的思路裡面怎麼也出不來，還要來找我辯論。。。。後來，我做了一個excel文件來模擬，基本就沒有人找上門辯論了。這個文件在這裡：

http://blog.genglinxiao.com/monty-hall-problem-simulation-in-excel/

對標準答案有疑問的同學們，自己下載下來試試就明白了。

---

第一次選擇 三選一 你選到車的概率是 三分之一

主持人排除一扇門之後

第二次選擇 二選一 另一扇門有車的概率是二分之一

簡單來說 你不換的話 33%可能得到車。 換的話 50%可能得到車。

綜上 換門 得車幾率更大

---

自己在拋個硬幣啊，正面不變，反面就變。這時你中獎的概率就是50% 總比第一次選的概率大。

---

最優策略是遊戲前就擬定好的，而不是主持人拿著話筒問你換不換時，還朝右邊翻著白眼盤算。

縱觀整個遊戲流程。你所能攝取的信息在遊戲開始前都已經攝取完畢（除非你能隔著門板聞到羊騷味）。所以在遊戲開始前，你就可以做出換不換的決策，而且這個決策在謎底揭曉前不受任何東西影響。

那麼問題就簡單了，變成了的最優選擇問題。

其實你就兩種

1不換，打死不換。那麼只能靠你在三個門板中盲選出轎車了。自然是1/3

2換，就他娘的換！那麼你只要祈禱你第一次選中那個門板後面是個萌萌的山羊就可以啦！

---

推薦閱讀：