對於美式期權來說，看漲期權通常不會選擇提前執行，而看跌期權則有可能提前執行，這是為什麼？

02-01

對於put option有這樣一段話：
{ The risk is that the assets value will appreciate at a rate greater
than the riskless rate
{ Early exercise is attractive if
* The more `in the money the put is

* The higher is the riskless rate
* The lower the volatility (less likely that the asset price will
recover)
該如何理解？

瀉藥答過：

http://www.zhihu.com/question/41835658/answer/100215657

一個接地氣，從上下界出發解釋

一個不接地氣，從條件期望介紹

本來寫的用公式的方法快寫完的時候發現用一下這句話來解釋簡單得多，汗。。。

strike K 有一個time value在裡面

看漲期權是S-K，你是付K，所以越早付越虧；

看跌期權是K-S，你是得到K，所以越早得到越好。

下面是用公式的答案複雜一點原理不變==

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這個問題通過公式就很好理解了——讓我們來看一下歐式期權的Put-Call Parity:

對於沒有dividend的underlying：

C=P+ S- Ke^-rT

=P + （S-K）+（K-Ke^-rT）

如果美式看漲期權提前執行，得到的payoff是等式右邊中間項（S-K），比到期時執行少了一個（K-Ke^rT）的部分，也就是strike K的time-value，而這個部分顯然不可能為負；再加上少了P的價格，同樣永遠大於或等於零——所以美式看漲期權的提前執行始終不是最有利的。

其實如果現在股價大於行權價，但你卻看跌這個股票，做空比提前行權更優。

對美式看跌期權用同樣的方法：

P=C+Ke^-rT-S

=C+（K-S）-（K-Ke^-rT）=（K-S）+C-（K-Ke^-rT）

同樣提前行權得到的是K-S，那麼提前行權是否最優就取決於C-(K-Ke^-rT)為正或為負了。

讓我們來對應一下你題目中提到的幾種情況：

1) The more in the money the put is:

當put越in the money，意味著相應的call越OTM，所以call會更便宜，C-(K-Ke^-rT)更有可能為負——美式大於歐式，提前行權為優。

2) The higher the risk free rate is:

risk free rate越高，K-Ke^-rT越大，C-(K-Ke^-rT)越有可能為負

——美式大於歐式，提前行權為優。

3) The lower the volatility:

如果股價都不太可能波動了，也就是在S不變的情況下，當然提前行權得到（K-S）而不是到期時得到（Ke^-rT - S)更好。

以上。

美式看漲期權如果持有人認為股票價格還會漲，則會繼續持有。如果認為股票價格已經被高估想要行使，則他會選擇賣掉期權。原因是如果假設交易無成本，則立即行使期權的收益為S（0）-K，但這只是期權的內涵價值，不包括一定非負的時間價值。所以直接賣掉期權的收益包括內涵價值與時間價值大於等於直接行權的收益。至於看跌期權個人認為應該加入交易成本的假設才能解釋，否則就跟看漲期權一樣不如賣掉而不是行權了。無息股票的美式看跌期權下限為K-S（0）與0的較大值，上限為K。如果有交易成本則下限會減去交易成本。交易成本包括買股票買期權和賣股票的三重成本。所以拉低了期權下限制，接受價格沒有那麼高。在深度實質值的時候尤其如此。但是對於對沖者來說由於已經持有股票和期權，只有賣股票的成本因直接行權可能比賣掉期權得利更多，在深度實值的時候尤其如此。

翻譯大概是持有看跌期權的風險包括股票升值速度高過無風險利率。

美式看跌期權在以下幾種情況更有可能提前行權。包括

1期權深度實值

2無風險利率高

3波動率低(股票價格越不可能回升)

回答錯了輕噴，自己猜的

因為一個美式的期權相當於有一個隱含的 put/call option, 所以如果是一個不付 dividend 的 stock 的話，American call 提早行權永遠不是最優；但是如果未來的利息大於 American put 裡面隱含的 call option 的價格的話，American put 提早行權會是最優的（事實上如果是付 dividend 的美式期權的話就都有可能提早行權）。