為什麼數學家羅爾Rolle在當時的一段時間批判微積分?是什麼導致他的批判?
Rolle稱其為"a collection of ingenious fallacies"
說白了只有一句話:那時候"極限"還沒有良定義於是當然有人不承認了,換成我我也不承認.
去年,天涯論壇有一段時間在吵一個問題,就是0.999(9循環)等於不等於1.吵得天暈地暗,
於是我寫了下面一篇科普/娛樂文章,寫完感覺自己真是有病居然在天涯寫這種文章....
相信題主必然具有很強的數學知識,這篇文章本是寫給外行看的,對題主來說肯定是寫得太淺了,不過文章中有提及牛頓當時的流數術為什麼遭到那麼多人的攻擊.借你的問題,把文章曬一曬,順道也算是從某個角度解答你的問題吧:&<0.999和1的歷史決戰&>
前一段網上出現了0.999..等不等於1的大戰,興起了一陣腥風血雨,
形成了公說公有理婆說婆有理的局面,很多人從直觀上認為0.9999..怎麼也不能等於1,或者0.00...01怎麼也不能等於0.而另外一些人從極限上分析,從實數稠密性上分析,試圖說服另一方0.0000...1真真正正地等於0.那麼,這倆數到底相等不相等? 請允許我做個解答:想解釋這件事,以及為什麼這件事會在網上有如此大的爭論,
我們必須先確定一下我們是在什麼框架下來談這個問題,這就好比你問一個小學一年級的孩子5減6得幾 ,他一定覺得你有神經病,因為5比6小,所以5沒法減去6.所以我們要確定一下,既然我們討論的是關於"無窮"的問題,我們要在什麼框架下討論它.無論從歷史上還是從道理上來看,人類首先接觸到的關於"數"的東西必然是
整數,隨著歷史的進步,人類對"數"的認識逐漸從正整數變成了包含正整數,0,負整數的全體"整數".在公元前的時代,人類已經對整數有了很深的認識.雖然沒有明確的記錄,但我們有理由相信以自大為特點的人類曾經一度認為整數就是數學的全部了.因為對於當時的人類來說,整數就夠了.例如:"對面部落來了10跟人跟咱干來了,咱出11個人,比他多,乾死他們! 乾死黃旭東!"
"不行不行,上回打獵多給了你1隻,這回你得給我2支."但是正如大家知道的,再往後來發展,隨著商業,農業的發展,收稅,丈量土地等等
需求,人類必然需要分數和小數.但當時人們對數學的了解並不如今天這樣嚴謹,因此對小數的定義也不明確,我國古代春秋之前發明的井田制,即把一塊方形的土地分成一個井字,中間那塊地的出產歸國家,剩下的自己吃."1/9"的稅,真不低..這體現了當時人們對"數"的定義,即一個數要麼是整數,要麼是兩個整數做除法.無論是我國還是外國,當時的人對於"數"的認識普遍是如此的."一個數要麼是整數,要麼是兩個整數的比"---今天我們管這樣的數稱作"有理數".
儘管很多人的數學課程都一直念到大學,但當今世界上的大多數人對"數"的認識基本就到"有理數"了.
因為使用有理數能夠解決普通人生活中出現的幾乎100%的問題,
算錢記賬,利息股票,全都用有理數就夠了.對於普通人來說,我們和公元前的人類對"數"的認識是一樣的.這個時候,一個尖銳的問題就擺在了你眼前,"數"嘛,多麼自然,1,2,3,4,5,1/2,1/3,多麼自然?
這不是明擺著的東西嗎? 難道除了這些數,還有別的數?在公元前500年左右,古希臘有個畢達哥拉斯學派,該學派在當時
是非常權威的數學哲學學派,他們認為,整個自然界都能用"有理數"解釋.這世界上除了有理數再無其他數存在.然而,科學永遠在普通人的未來行走,數學又永遠走在科學最前沿,數學不會滿足於
只能用來記賬.在公元前400年,這個學派出現了一個"叛徒"----一個名叫歐多克斯的人發現了一件不得了的事情! 即這世界上存在不是有理數的數. 他的證明方法非常簡單,即:
兩邊邊長為1的直角三角形,他的斜邊等於多少?
這個問題難倒了畢達哥拉斯學派的所有教徒和教主,今天我們知道答案為根號2.
但當時這是驚天動地是事情,因為根號2肯定不是整數,亦不是兩個整數的除法.畢達哥拉斯學派的眾人頓時感覺無法解釋,你不能說根號2不存在因為邊長為1的直角三角形是存在的! 你也不能說根號2是有理數因為他確實不是有理數.最後畢達哥拉斯學派沒有任何辦法,只好--------把歐多克斯腳上綁上石頭淹死了!!!!科學為人類付出太多,人類卻總是對科學如此苛刻.
說到這裡想起上學的時候有一次做數學題,我堅信我的答案是對的書上是錯的,跟老師吵了很久,
當時非常生氣,後來想想,擦,人家為了個根號2都被淹死了,我這算什麼.雖然歐多克斯被淹死了,但真理的腳步無法阻止,終於,歷史上第一次數學危機爆發了,
你可能會覺得"不就是個根號2嗎?至於稱作"危機"嗎?" 實際上我認為這個危機比什麼古巴危機之類的大多了.如果連數學的根本都錯了,那我問你你怎麼知道公司發給你的工資是對的? 你怎麼知道銀行有沒有給你少算利息? 你怎麼知道你坐的飛機不會在下一秒鐘掉下來? 因此,整個數學界都動員起來,一定要解決這個根號2的問題!終於,人類認識到了,有理數是不夠描述這個世界的,於是人類發明了實數.
實數的定義很簡單,它包含了所有的有理數,同時又包含了所謂的"無理數".所謂無理數簡單理解就是"無限不循環小數".或者不能用兩個整數做除法所表示的數.我們見過最多的無理數就是圓周率了.它等於3.1415..........永遠也數不完.除了圓周率,還有很多無限不循環小數,比如剛才提到的根號2等等.
哇! 看來我們不光有有理數,我們還有無理數,假如把所有的"數"都畫在一條數軸上,可以
把這條數軸畫的"滿滿"的! 問題解決啦.問題....解決了嗎?
時間一下從公元前跑到了17世紀.沒錯我們要提到牛頓牛大爺了,這個大家都知道了就不詳細介紹了.當年的牛頓已經發表了非常多的關於物理學著作,但他發現了一個問題---雖然
他的物理公式被實驗證明非常準確,但很多實際問題卻根本無法計算,例如計算行星受到太陽引力的作用,行星在轉,每一時刻太陽對行星的力都是變的,想要計算:"每一時刻都改變"的量,用常規的數學方法是不行的.他很自然地想到"把每一時刻都分解開"的想法.把每個時刻都分解成小的時間片,再把每個小時間片的計算結果加起來,就能近似得到對應的結果了.那再想想,如果我取越來越小的時間片,小到"無限小"的地步,最後把這些"無限小"的計算結果再全都加起來,不就得到了準確結果了嗎?
聽起來容易做起來難啊! 生活中我們經常會遇到關於"無限"的問題,
例如:"你會永遠愛我嗎?"."有永遠輸出能量的機器嗎?"這類問題的一大共同點就是它們一般都沒有答案----100年我就入土了,還他媽"永遠"?沒錯,凡是涉及到"無限"的東西,人類十有八九會慌亂掉.不過,牛大爺並沒有慌,他為自己的計算引入了一個叫做"無窮小"的概念.數學是嚴謹的,你說你搞個無窮小出來,這個無窮小到底是多小啊? 什麼叫無窮小啊? 我們可以粗略地給無窮小下一個定義(不考慮負數):
"一個數是如此之小以至於任何非零的數都比他大".這個定義粗糙的連當時最偉大的數學家之一歐拉都看不下去了,要知道,實數是稠密的,這世上任意兩個實數之間都有無窮多的實數存在,所以,根本不可能存在一個數是"最小的數".這是一個大問題,可是牛頓並沒有考慮那麼多.他對無窮小基本採取了一種態度:想讓它是零,它就是零,想讓它不是零,它就不是零,用今天的眼光看,簡直有點篡改試驗數據以貼近自己想得到的結論的感覺....假如讓牛頓來證明0.99999=1,
他會這麼證明:1=1
1-無窮小=0.999999999..無窮小太小了所以無窮小=0.所以1=0.99999999999...你一定會大呼坑爹,這無窮小想用就用不想用就扔,一會兒是0一會兒不是0,
實際上當時的人也是這麼攻擊牛頓的,當時的貝克萊主教稱無窮小為"已死量的幽靈"以釋放自己內心的草泥馬.雖然牛頓並沒有如此證明1和0.999的關係,但在他的著作里確實大量使用了類似的方法,有些地方不嚴謹的很,和我剛才的證明一樣坑爹.甚至比上文還坑爹!萬幸,數學是人類擁有的少數存在真理的學科,它不因政權更迭而改變,不因選票而改變,
不因個人喜好而改變.人類存在之前數學已經存在,即使人類滅亡數學也不會消失.就算你僱傭1億個水軍攻擊一個數學理論,正確依然是正確.當人們用數學或者實驗方法去驗證牛頓的理論時,發現雖然無窮小很坑爹,但牛頓使用"流數術"(就是微積分啦)推算出的結果全都是正確的!那麼,如果牛頓是正確的,這就說明無窮小在某種程度上肯定是存在的.
可是,想要使用無窮小(或者無窮大),我們必須嚴格定義一下它.即什麼是無窮小(什麼是無窮大)?能不能對一個東西下一個足夠嚴謹的定義是區分理性思維和感性思維最好的方式
,如果問一個人什麼是無窮大,不了解數學的人可能會這樣定義:"無窮大就是特別特別特別大".
這樣的定義是不行的.我們必須有更加嚴謹的定義,聰明的你可能會想到一個更嚴謹的版本:
"無窮大就是一個數,任何其他數都比這個數要小".
如果你能想到這裡,那麼恭喜你了,這個定義稍稍有點沾邊了.
那麼反過來,無窮小就是"無窮小就是一個正數,任何其他正數都比這個數要大".好了,現在我們有了無窮小和無窮大的定義,牛頓大師被我們挽救了嗎? 我們可以證明0.9999和1的
關係了嗎?不行.
因為根據定義,你會發現無窮小和無窮大根本就不是一個數!
為什麼? 憑什麼? 他怎麼就不是數了你丫給我說說看? 它們倆就是數了我告訴你我爸是李剛
它們倆必須是數! 對不起, 在上一段我們已經知道我們討論的都是實數,任何一個數只要是實數必須至少符合兩個定義:1.任取一個正實數,你總能找到比這個正實數大的正實數.
2.任取一個正實數,你總能找到比這個正實數小的正實數.這兩個性質是實數的定義決定的.你可以不承認,但不承認這兩個定義你討論的
就不是實數,而我討論的是實數,所以如果你連這個都不承認,你就可以點右上角關網頁了.那麼,根據實數的定義和無窮小和無窮大的定義,我們輕易地就可以證明無窮小和無窮大
根本不是實數,因為根據無窮大的定義,沒有比無窮大還大的數,而實數要求如果無窮大是一個實數,那麼必須存在比無窮大還大的數.這兩個是完全矛盾的.因此,如果真的按照上文的定義,無窮大和無窮小根本就不是實數.在當時的人理解中,它們根本不是數.
哇!無窮大和無窮小連"數"都不是,你憑什麼用在數學公式里?
無窮小和無窮大對微積分學,乃至整個數學帶來了極大的衝擊,用一個不是實數
的數套到公式里計算出來的結果居然是對的,那隻能說明一個事情,那就是現有的數學理論就如同當年根號2一樣,是個數學中的妖術! 這引發了第二次數學危機.萬幸,牛頓先生沒有被綁上手頭淹死,有大量的人對實數理論和微積分進行了修正,
好,那麼修正之後,無窮大和無窮小終於屬於實數了嗎? 抱歉...依然不屬於......這太坑爹了! 不是說修正了嗎? 怎麼無窮大無窮小還是不屬於實數???
恩,事情是這樣的,人類很想把無窮大和無窮小融入實數理論,但實在是融入不進去,但微積分太好用了不得不用,因此人類想了個辦法,那就是:不使用前文描述的無窮大和無窮小來描述微積分
等於人類把"無窮"的問題給繞了過去,不得不說有點避重就輕,但微積分確實
變得嚴謹了.我們來簡單看看人類是如何把"無窮"的問題給繞過去的:例如: 1/x ,當x等於無窮大時這個式子等於多少? 我們知道答案是0,
但是無窮大不是個數,所以我們根本不能直接問"x等於無窮大",那怎麼辦呢?嚴謹的微積分是這樣描述這個問題的.首先,我們有一個式子
y=1/x
我們可以知道當x逐漸變大的時候,y肯定是逐漸變小的.我們不談
"x等於無窮大",而是換個問法: "請找到一個非負值Y,使得無論你把x取任何很大的值,Y總是小於1/x的."----看吧! 我根本沒提"無窮大"這個詞,但問題卻和上面的問題是等價的.只有當Y=0的時候,我們才能保證任取x,1/x都大於0.現代的微積分就是靠這種方法,繞開了"無窮"的問題,使得微積分變得更加嚴謹.你可能會說,不對啊,我有時候會聽說數學家談到"無窮大"或者"無窮小"啊.
是的,微積分說到底還是需要無窮大和無窮小的,但是為了避免無窮和實數之間的衝突,嚴謹的微積分是這樣定義無窮大(或者無窮小)的:例如: y=1/x ,當x=0的時候,y等於多少呢?
我們知道y等於無窮大. 但是我們又不能討論無窮大(好麻煩),所以我
只能換個問法:y=1/x,請問你能不能找到一個數,使得任取x為任何值的時候,這個數總是
大於1/x的嗎?你肯定找不到,無論你找多大的數,我取x足夠小,則1/x總能大於你找的這個數.
那麼,嚴謹的微積分學定義,如果你找不到這個數,即這個數不存在,我們就定義這個式子的極限不存在,不存在極限的,我們稱它做"無窮大"(無窮小亦類似).換句話說,無窮大的意思是對於這個式子這個極限不存在.
哈哈哈哈! 太完美了,即可以用微積分,又避免了無窮的問題.
微積分保住了! 實數也保住了! 無窮呢? ----丫不存在!好了,下面就可以根據上面的結論來證明
0.000000...1 到底等不等於0了.(0.999也一樣).首先,我們來構建一下0.000000....1等於多少,我們可以用這個式子來建立:
0.1 = 1/10 ,
0.01 = 1/(10*10),0.001 = 1/(10*10*10),....0.000000...1 = 1/(10的x次方)---&>當x等於無窮大時的值.前面已經提到,你不能直接說x=無窮,因為無窮不存在,但你可以換個問法,這兩個問法是等價的:
1/(10的x次方),請問你能不能找到一個非負數,使得任取多大的x時,這個數都小於1/(10的x次方)?
我能.我找到的這個數是0.
這等價於: 1/(10的x次方),當x等於無窮大時,這個式子等於0.
也就等價於 0.0000......1 == 0.好了,0.00000..1==0了.
牛頓大師不用擔心了,後人已經把你的微積分變得嚴謹多啦! 好啦,一片雲彩散,大家可以回家喝茶吃飯啦!
...............
但是我知道有些人是不會服氣的.
"它憑什麼! 0.99999就是不等於1""啊呀呀呀,討厭! 根本不符合直覺! 就是不等於!"恩,和其他文章不同,我要告訴你,即使你認為0.0000...1不等於0,從某個方面講,你也是對的.
我知道你是怎麼想的,首先,從直觀上來說,0.000.....1它再小,畢竟還是有的,怎麼會是0呢?
其次,無窮大和無窮小是多好的東西啊,它怎麼就不是數呢?科學經常得出一些有違直觀的結論,有些人看到這樣的結論會抱怨,有些人看到
這樣的結論會承認,而有很少很少的一部分人,會想一個更深層次的問題:"如果無窮是個數,會怎麼樣?"
整數可以是數,小數可以是數,無限不循環小數可以是數,憑什麼無窮不能是個數?
現在,您理解為什麼我的這篇文章要從公元前開始開始說起了吧? 科學總是進步的,數學也一樣
.在現代,雖然科學是無情的,但科學同時也是開放的,即使你說無窮是個數,你既不會被淹死,也不會被主教攻擊,不過,如果你說無窮是個數,你必須給出嚴謹的數學定義,將無窮納入到現有的數學體系中.在1960年,德國數學家亞伯拉罕魯濱遜提出了偉大的"非標準分析",其中很重要的概念被稱作
:"超實數"----真是聽著都帶感啊! 在超實數中,納入了無窮的概念,使得無窮可以像一個數那樣參與到運算中.是一個比實數更大的體系.同時,由於超實數中包含了無窮的概念,使得微積分不用再避開無窮的問題,超實數可以直接把無窮帶入到式子中計算.前文中詭異的極限定義也不需要了.超實數簡單理解,就是納入了無窮大和無窮小的實數,但是這個"納入"帶來了很多問題,
實數集是有很多性質的,你納入了無窮大和無窮小,這些性質還在不在? 新的超實數和原來的實數集是什麼樣的關係? 這些都需要數學家一一解答.非標準分析的一個強大之處在於其證明了,任何和實數有關的結論,在超實數中依然是有效的.這就解釋了為什麼牛頓隨意地定義無窮小卻得到了正確的結論.因為他使用的無窮小實際上是在超實數的範圍內使用的,而由於超實數的這個性質,使得他的結論依然是正確的.又由於當時的人們並沒有發現超實數,才導致了人們以實數的眼光去審視牛頓的"無限小"時產生的各種毀三觀.我很想系統地聊聊超實數,可是遺憾的是,由於超實數定義很複雜,很難用非數學的語言來描述超實數的定義,如果硬要說,我只能簡單描述一下: 即在任何數的"四周",還存在無數由這個"實數"與無窮小作用得到的"數",要知道實數已經是無窮多了,超實數比這個無窮多還要無窮多,在超實數
中,我們可以認為0.0000000000...1不等於0,但要注意,這裡所說的不等於並不是我們生活中所說的不等於,而是換了一種定義的不等於.超實數的性質並不完全符合我們直觀上對數的理解.但卻符合直觀上對於"無窮"的感性認識.在超實數中,"無窮小無論如何還是大於零的"這句話並沒有錯誤.因此,0.0000000....1是不是等於0的問題就不用再爭論了.從實數出發,或者從數學分析微積分
出發,必然是相等的.一些朋友從感性上出發,誤打誤撞地符合對超實數的定義(因為你們無意中已經把無窮當成一個數了).認為不相等也不是對的.之所以有矛盾是因為你們討論的不是一個集合.就為了記個數,有人被淹死了,有人被燒死了,有人被攻擊了,有人被論壇噴子噴了.真不容易!
注1: 本文只作娛樂和輕微科普用,所有證明和定義/結論均為通俗易懂進行了簡化,既不嚴謹也不保證
正確性,如果想更深入了解,請參考&<數學分析&>,&<抽象代數&>,&<非標準分析&>,&<實數論&>等書.注2: 微積分不是牛頓獨創,為了文章的趣味性,微積分的另一位發明人萊布尼茨沒有提及.數學家?羅爾應該是一位文人
明明等號右邊加了一個無窮小量,你想甩就甩,想留就留。很不雅啊。所以批評一下也是應該。
真理是在錯誤與犧牲中誕生的。
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