二階正交矩陣可以根據純旋轉與否來分類，能具體解釋一下嗎？

二階正交矩陣，通過計算，可以得到所有的二階正交矩陣所對應的正交變換要麼是旋轉一定角度，要麼是在一定角度處反射。請問這樣的情況下，如何給它分類，如何定義一個等價關係，將其分為若干類？（本人所強調的重點是尋求一個等價關係，分為若干類）

謝邀。（先聲明一下，讀懂這篇回答需要一點點線性代數的背景知識，至少也要知道矩陣乘法怎麼做、行列式是什麼……）

@pkumsy所說的是正確的，不過可以更加簡潔一點：

行列式為+1的是旋轉，行列式為-1的是翻折。

可以證明，所有的二階正交矩陣都可以寫成如下兩種形式的其中一種：

其中……

……

哦對對對，我先回答題主的問題：要找一個等價關係，使得這兩種矩陣剛好分別屬於兩個等價類。

嗷，定義二元關係:

（是所有形如的矩陣集合，也就是所有的旋轉矩陣的集合，也就是所有的行列式為+1的二階正交矩陣的集合。嗯，我知道矩陣一般不用小寫字母表示…不過就讓我先這麼寫吧。）

（S是指special，也就是行列式為1；O是指orthogonal，也就是正交的；2是指二階矩陣）

好，在判斷是不是等價關係之前，我們先來看看集合的性質。

1. ，即對矩陣乘法封閉。這很好理解，因為可以證明。就是說，旋轉矩陣的乘積所對應的旋轉就是旋轉的疊加。

2. ，即滿足結合律。這很顯然，因為矩陣滿足結合律嘛。

3. ，即單位矩陣在內。這也很顯然，因為單位矩陣相當於旋轉了0°。

4. ，即中，每個矩陣都有逆矩陣。這是因為，。

好…滿足了這四條，我們就說與矩陣乘法運算構成一個群。

接下來我們來看看是不是等價關係：

1. 自反性：

2. 對稱性：

3. 傳遞性：

所以，是等價關係。

為什麼我這裡要用小寫字母來表示矩陣呢…因為定義在任意群上的上述關係都是一個等價關係：，其中是的子群。

在這個例子里，。是的，也是一個群，滿足之前的四條性質，有興趣的讀者可以自行驗證。

好了，接下來就看看是怎麼劃分等價類的：

，所以所有都在一個等價類中。

（第一個公式是顯然的，後兩個公式的證明留給讀者，答案略…）

所以這個等價關係就滿足題主的要求=w=

是一個自然的等價關係，因為在這個例子里，是的正規子群——實際上，對於任意正整數，都是的正規子群，並且。這個具體就不細說了=w=

而且，等價關係把劃分成了與同樣大小的若干集合，除了本身以外，其他的集合都被稱為的陪集。

這也就意味著，子群的元素個數一定可以整除的元素個數。這就是著名的拉格朗日定理=w=（不過這個定理一般是對於有限群而言的）

（如評論中 @Richard Xu 所說，把拉格朗日定理寫成的形式就對無限群也成立了）

當然了，並不是唯一滿足題主要求的等價關係。

我甚至可以直接定義與分屬兩個等價類，然後證明這個等價關係是well-defined的就行了。不過這樣定義並不能體現太多相關的性質。

我還想討論另一種滿足要求的等價關係。首先，讓我們先來看一個矩陣：

好，接下來我們把所有與相似的矩陣歸為一個等價類，其他矩陣歸為一個等價類。

（矩陣與相似當且僅當存在可逆矩陣使得）

好吧我承認看起來這是強行劃分等價類…其實並不是，只是我懶得用符號語言來敘述罷了…

與有這樣一個關係：

也就是，

（因為與互為可逆矩陣，所以逆矩陣符號在前在後都可以）

這樣，我們就能通過幾何意義看出，是關於翻折的。這當然也可以用代數運算來驗證。

但這裡我想說的是，用相似矩陣來分類可以讓我們更加深刻地看出是翻折變換：

因為，相似矩陣的實質其實是對於同一個線性變換的不同的描述。

為什麼會有不同的描述？因為選的基不同。具體來說是這樣的：

在標準基（坐標系）下，一個線性變換向量變換成向量，我們可以寫成。

此時我們換一個基（坐標系），於是。

（這一行不理解的可以看孟岩老師的經典文章理解矩陣（三），或者矩陣是什麼？這篇文章）

代入之後就得到：

接著變一下形：

所以，實際上就是在坐標系下對原先的線性變換的描述！

（在相似矩陣的那些事兒這篇文章里有更加詳細的敘述）

現在回過頭看這個式子，與是相似矩陣，也就是說，它們是對同一個線性變換的不同的描述。而顯然是一個翻折，所以也是翻折。

這也可以看出相似矩陣可以給我們帶來什麼好處：對於同一個線性變換，選的基不同，變換所對應的矩陣就不同；而有些基的選擇要比另一些更『好』，比如與相比，更加清晰明了，一看就知道是翻折變換。

當然，什麼是更『好』的基，這就看需要用它來幹什麼了。

所以題主的問題我就回答到這裡啦。最後再次安利一下：孟岩老師的三篇《理解矩陣》值得一讀。

這篇回答獻給那個正在學線代的小朋友=w=