Haskell中Monad與Applicative的關係?

在Haskell中，Monad 的定義如下：

class Applicative m =&> Monad m where

為什麼 一個m在成為Monad的 Instance之前必須是Applicative的Instance

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首先，這是一個歷史問題，因為Monad的發現在Applicative之前，所以7.10里要改，已經爭論很多年了。其次，你搞混了依賴關係與實現順序的關係，其實並不是一個序的對應，也就是說你實現Monad不一定要先實現Applicative，實現Applicative不一定要先實現Functor。給你一個例子：

import Control.Applicative
newtype Id a = Id a

instance Monad Id where
return = Id
(&>&>=) (Id x) g = g x

instance Applicative Id where
pure = return
(&<*&>) f x = do
h &<- f y &<- x return $ h y instance Functor Id where fmap f x = pure f &<*&> x


從上面的代碼里我們可以看到，對於Id類型我先給出了Monad類型類的實現，又通過Monad類型類實現了Applicative，然後又通過Applicative里的pure實現了Functor。這就像是你把一個類型實現為有序類型類Ord的實例了，那麼實現相等類型類實現就可以用Ord里的函數來實現。

也就是說「為什麼 一個m在成為Monad的 Instance之前必須是Applicative的Instance？」這個問題本身就是不對的。重複一次，不對的地方在於m在成為Monad前不一定需要是Applicative與Functor。只是這三種代數結構有Functor =&> Applicative =&> Monad的依賴關係。

當然Haskell與GHC的設計者都不是傻瓜，這些你實現了Monad為什麼還要寫Applicative與Functor的代碼？明顯你寫的時候可以這樣。

import Control.Applicative (Applicative(..))
import Control.Monad (liftM, ap)

-- Monad m

instance Functor m where
fmap = liftM

instance Applicative m where
pure = return
(&<*&>) = ap


對於Functor與Applicative，還可以這樣做，在庫里給出兩個類型類實現的默認聲明：

{-# LANGUAGE FlexibleInstances,UndecidableInstances #-}
import Control.Applicative
import Control.Monad
newtype Id a = Id a deriving (Eq, Show)

instance Monad Id where
return = Id
(&>&>=) (Id x) g = g x

instance Monad a =&> Functor a where
fmap = liftM

instance Monad m =&> Applicative m where
pure = return
(&<*&>) f x = ap


現在好像用一個WrappedMonad來避免這種重複（我沒有仔細看），總之解決的辦法相當多，還可以用元編程。這樣可以避免一堆重複的抽象，化簡了Control.Applicative與Control.Monad庫，比如liftM就是fmap了，sequence就是sequenceA了。這樣我們可以把Monad里的這些從Applicative重複的部分deprecated掉。

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並不一定要必須，這麼寫是為了強調Monad是增強版的Applicative，或者是建立在Applicative之上的抽象，也就是說可以基於Applicative得出Monad，也可以直接得出Monad，以前不這樣定義的，那麼問題來了，做出這種修改是否是在裝純?

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最近有點有趣的發現（受F#中的`|&>`運算符啟發）。如果我們定義：

let x |&> f = f $ x
let x $&> f = f &<$&> x
let x *&> f = f &<*&> x
let x @&> f = x &>&>= f


則有：

(|&>): a -&> (a -&> b) -&> b
($&>): Functor f =&> f a -&> (a -&> b) -&> f b
(*&>): Applicative f =&> f a -&> f (a -&> b) -&> f b
(@&>): Monad f =&> f a -&> (a -&> f b) -&> f b


這似乎是說，從語法角度來講，Functor、Applicative和Monad只是可以應用某些特殊函數的值？

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Functors, Applicatives, And Monads In Pictures （無責任ZT）

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https://wiki.haskell.org/Functor-Applicative-Monad_Proposal

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