如何用微積分的方法求出此題中a與t的關係？

02-01

謝邀

設豎直向上為正方向，對皮球列牛頓第二定律： $-mg-kv=mdfrac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}$

移項，進行分離變數： $-mathrm{d}t=dfrac{m}{mg+kv} mathrm{d}v$

設皮球豎直上拋的初速度為 $v_0$ ，對上式進行積分

$-int_0^tmathrm{d}t=int_{v_0}^vdfrac{m}{mg+kv} mathrm{d}v$

即： $-t=left[dfrac{m}{k}cdotlnleft(mg+kv ight) ight]_{v_0}^v=dfrac{m}{k}cdotlndfrac{mg+kv}{mg+kv_0}$

整理得： $v=left(dfrac{mg}{k}+v_0 ight)expleft(-dfrac{kt}{m} ight)-dfrac{mg}{k}$

所以，物體的加速度： $a=-g-dfrac{k}{m};v=-left(g+dfrac{kv_0}{m} ight)expleft(-dfrac{kt}{m} ight)$

我們發現物體的加速度恆為負，這說明皮球的加速始終豎直向下。題目求的是加速度大小，取個絕對值就可以了，即： $left|a ight|=left(g+dfrac{kv_0}{m} ight)expleft(-dfrac{kt}{m} ight)$

鑒於題目上強調說是上升過程中，故取圖像的前面部分，選C。

如果要求 $x(t)$ ，則對下式再進行積分就行了

$v=dfrac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=left(dfrac{mg}{k}+v_0 ight)expleft(-dfrac{kt}{m} ight)-dfrac{mg}{k}$ $int_0^xmathrm{d}x=int_0^tleft[left(dfrac{mg}{k}+v_0 ight)expleft(-dfrac{kt}{m} ight)-dfrac{mg}{k} ight]mathrm{d}t$

即求得 $x(t)$ 的表達式：

$x=dfrac{m}{k}left(dfrac{mg}{k}+v_0 ight)left[1-expleft(-dfrac{kt}{m} ight) ight]-dfrac{mg}{k}cdot t$

假設向上為正，建立運動方程：

-mx-kx-mg=0.

-mx，達朗貝爾原理，慣性力和加速度方向相反，所以加負號。

-kx，速度造成的阻力，和速度方向相反。

-mg，指向負方向。

簡化方程

x+(k/m)x=-g

這是一個非齊次微分方程，特徵值為0和-k/m

方程的特解可以構造成x_s=bt.

帶入方程

0+kb/m=-g，b=-gm/k，x_s=-mgt/k

所以方程的通解

x=c+de^(-kt/m)-mgt/k

當t=0時，x=0，得到c=-d

x=-dke^(-kt/m)/m-mg/k

當t=0時，x=v0

得到v0=-dk/m-mg/k，得到d=-mv0/k-m^2g/k^2

所以原方程

x=(mv0/k+m^2g/k^2)(1-e^(-kt/m))-mgt/k

所以加速度

x=dk^2e^(-kt/m)/m^2=(-kv0/m-g)e^(-kt/m)

可以看到加速度一直為負，當t等於∞時加速度等於0

但是當球達到頂點的時候，t並不是等於無窮大，加速度等於-g

這題看的是加速度的大小，也就是a=-x，可以畫個函數圖像得到答案是c