一個可討論的時間暫停模型

02-01

時間暫停是各類文學作品和動漫作品中的常見能力，由於其很明顯地嚴重違背了現有的物理規律，甚至存在內在的邏輯矛盾，從而各個作品中基於其都會構造各具特色的設定[注1]。 @LePtC 的時間暫停表的正確用法這篇文章中對於常見設定中的一些矛盾進行了簡單的分析。而本文試圖在保留現有的部分物理框架的前提下，提出一個可供討論的時間暫停模型，對時間暫停的物理進行研究，並作一些初步的分析。

本文假定讀者起碼具有理論力學的相關知識。

模型引入

我們仍在哈密頓系統的框架下討論問題。假定整個世界可以劃分成主角(Character, C)和環境(Environment, E)兩個部分。作為引子，我們假定他們之間沒有相互作用，那麼總的哈密頓量可以寫成

$H=H^C(q_alpha,p_alpha)+H^E(Q_beta,P_beta)$

其中字母意義自明。系統的運動方程寫成

$dot q_alpha=frac{partial H^C}{partial p_alpha},quad dot p_alpha=-frac{partial H^C}{partial q_alpha}, dot Q_beta=frac{partial H^E}{partial P_beta},quad dot P_beta=-frac{partial H^E}{partial Q_beta}.$

注意到，如果給環境的哈密頓量乘上一個常數因子 $g$ ，即將哈密頓量改寫成

$H=H^C(q_alpha,p_alpha)+gH^E(Q_beta,P_beta)$

那麼運動方程將會變為

$dot q_alpha=frac{partial H^C}{partial p_alpha},quad dot p_alpha=-frac{partial H^C}{partial q_alpha}, dot Q_beta=gfrac{partial H^E}{partial P_beta},quad dot P_beta=-gfrac{partial H^E}{partial Q_beta}.$

我們會發現，環境的全部正則坐標和動量隨時間變化的速度相對原來都改變了一個 $g$ 因子，而主角自身的變化並沒有改變。如果令 $grightarrow 0^+$ ，我們就實現了只有主角能動，但是周邊事物都不能動的目的。

這個模型同樣適用於量子情形。將上述哈密頓系統量子化之後，系統可以用波函數 $Psi(q_alpha,Q_beta,t)$ 描述。將系統作施密特分解

$Psi(q_alpha,Q_beta,t)=sum_{j}phi_j(q_alpha,t)varphi_j(Q_beta,t),$

其時間演化由下式給出

$begin{aligned} Psi(q_alpha,Q_beta,t_f)&=exp[-mathrm iHDelta t]sum_{j}phi_j(q_alpha,t_i)varphi_j(Q_beta,t_i) &=sum_{j}mathrm e^{-mathrm iH^CDelta t}phi_j(q_alpha,t_i)mathrm e^{-mathrm iH^EDelta t}varphi_j(Q_beta,t_i) end{aligned}$

在作變換之後，時間演化變為

$Psi(q_alpha,Q_beta,t_f)=sum_{j}mathrm e^{-mathrm iH^CDelta t}phi_j(q_alpha,t_i)mathrm e^{-mathrm igH^EDelta t}varphi_j(Q_beta,t_i)$

可以看到，在量子體系中，環境的波函數時間演化也被放緩了。

這個模型的一個優勢在於，環境中的所有事物都維持著原本的運動趨勢，保留著全部的正則動量和正則坐標不變，可以用於討論並不完全是時間暫停，而僅僅時間減速的過程。我們甚至可以令 $g$ 是一個依賴於時間的函數，從而實現從正常狀態到暫停狀態，再轉化到正常狀態的這樣一個動力學過程。我們無需憂心恢復時間正常流動之後環境中的事物是否會分崩離析這件事。

無相互作用情形

我們首先不考慮環境與主角的相互作用，而單單考察環境的變化。

對於經典力學系統，環境的哈密頓量可以寫成

$H^E=sum_beta frac{P_beta^2}{2m_beta}+V(Q_1,Q_2,dots)$

乘上 $g$ 因子之後變為

$H^E=sum_beta frac{P_beta^2}{2g^{-1}m_beta}+gV(Q_1,Q_2,dots)$

這樣就相當於：

質量增大到原來的 $g^{-1}$ 倍，這樣同樣的動量會導致更小的速度，從而物體位置不會改變
勢能減小到原來的 $g$ 倍，這樣同樣位置處會受到更小的作用力，從而物體動量不會改變

從而驗證了之前的結論。但將這個思路往相對論性粒子上推廣似乎會遇到困難：我的光速始終就是 $c$ 啊，怎麼你給哈密頓量乘一個數就變了呢？還有你這時間暫停是在哪個參考系裡暫停呀？

這件事涉及到物理系統的哈密頓形式並不天生是相對論協變的。我們先看一個自由相對性粒子的例子，哈密頓量為

$H = csqrt{m^2c^2+p^2}$

在乘上一個常數因子 $g$ 之後，很明顯系統整個色散關係都不一樣了，並不是如同經典情形中質量改變一個因子就能解決的；甚至洛倫茲對稱性都遭到了破壞—— $p_mu p^mu=p^2-(E/c)^2$ 不再是洛倫茲不變數。

那麼我們便確認了這個時間暫停模型是天生違背相對性原理的，我們需要選擇一個優先(prior)的參考系。當然我們確實也有一個，就是時間暫停裝置、或者說主角的質心參考系。

我們同樣可以討論場的時間暫停問題，甚至也可以考慮它們的二次量子化。注意由於洛倫茲對稱性的破缺，此時零質量矢量場（即電磁場）的量子化將會更加麻煩。

相互作用的引入

現在我們要來討論這個最容易出矛盾的地方了：當正常行動的主角和這個暫停的世界相互接觸時，會發生什麼？

我們通常使用相互作用(Interaction, I)項 $H_I$ 描述系統的兩個子部分之間的相互聯繫。對於經典系統，其哈密頓量又往往能拆成動能和勢能兩部分，那麼總哈密頓量寫成

$H=sum_alphafrac{p_alpha^2}{2}+V^C(q_1,q_2,dots)+sum_betafrac{P_beta^2}{2}+V^E(Q_1,Q_2,dots)+H_I(q_alpha,Q_beta)$

這裡我們已經將質量項吸收到正則動量/坐標的定義之中去了。我們假定在將 $H^E$ 變換為 $gH^E$ 的同時也將 $H_I$ 變換為 $hH_I$ 。此時可以寫出系統消去正則動量後的運動方程

$ddot q_alpha + frac{partial V^C}{partial q_alpha}=-hfrac{partial H_I}{partial q_alpha}, g^{-1}ddot Q_beta + g frac{partial V^E}{partial Q_beta}=-hfrac{partial H_I}{partial Q_beta}$

我們僅考慮 $h=1$ 的情形[注2]。此時主角受到環境的反作用力相對原來不變，但是由於為使環境在尋常時間內動起來需要更大的力（加速度前的 $g^{-1}$ 因子），作為一階近似我們可以認為環境是完全靜止的。這樣，上述第一式右端便成為了只依賴於主角自身坐標的外勢場造成的作用力——主角不僅沒法挪開一個箱子[注3]，甚至無法推動身邊的空氣分子！這就是 @LePtC 所提到的「像被灌進水泥一樣動彈不得」。

但是，需要注意到，儘管主角的施力對環境作用的效果降低成為原本的 $g$ 倍，但是環境中各個物體內部的作用效果卻降低為 $g^2$ 倍！也就是在環境看來，主角除了快如閃電（速度為 $g^{-1}$ 倍）之外，同樣也是力大無窮（作用力為 $g^{-1/2}$ 倍）的。

從主角的視角來看，那就是雖然自己推得很慢，但是環境自身運動得更慢，所以他毫不介意慢慢的推箱子——當然，我們也需要考慮到，他需要在更長的時間內持續做功，從而耗費更多的能量。

兩個子系統不同時間尺度之間的不匹配很容易引起很多麻煩。譬如我們的主角累了想拿起水杯喝一口水，費勁吧啦提了半天發現自己只拿起了一個杯把手——儘管他覺得自己已經很慢了，但是對於杯子而言，依舊如同一個鎚子對著它猛地一敲一般。

就算水到了嘴邊，事情也不好辦——它沒法以一個可接受的速度流下去，更別提慢化後的水分子如何和身體中的正常細胞如何和諧相處。同樣的討論可以應用到呼吸空氣、汗液蒸發、輻射熱量等等方面。畢竟生物作為一個低熵體，總是需要與環境大量交換物質和能量來維持存在的。這就是 @LePtC 所提到的一整套生命維持系統的意義所在。

物質與場的相互作用

我們考察最常見的場——電磁矢量場，與非相對論性帶電粒子的相互作用。我們取庫倫規範[注4]，即

$varphi = 0,quad nablacdot bm A=0.$

此時場的哈密頓量寫作

$begin{aligned} H_text{em}&=intleft(frac{bmpi^2}{2varepsilon_0}+frac{(nablatimesbm A)^2}{2mu_0}right),mathrm dV, &=intleft(frac{bmpi^2}{2varepsilon_0}-frac{bm Acdotnabla^2bm A}{2mu_0}right),mathrm dV+text{(surface term)}, end{aligned}$

相應的正則方程為

$begin{aligned} dot{bm A}&=bmpi/varepsilon_0 dot{bmpi} &= -nabla^2bm A/mu_0 end{aligned}$

我們注意到此處正則動量（密度）實際上等於電位移矢量的負值。將兩個方程合併即可得到關於矢勢的波動方程，亦即麥克斯韋波動方程。若引入時間減速因子 $g$ ，我們可以得到一個光速變為原來 $g$ 倍的波動方程，這裡就不再展開了。

系統的總哈密頓量寫作

$H=frac{(bm p-ebm A)^2}{2m}+gintleft(frac{bmpi^2}{2varepsilon_0}-frac{bm Acdotnabla^2bm A}{2mu_0}right),mathrm dV$

此處粒子與場的相互作用使用了所謂的最小耦合(minimal coupling)表示，這個表示基於電磁場的規範特性，我們在此處假定其不會發生改變。

從而我們可以寫出整個系統的運動方程[注5]

$begin{aligned} dot{bm p}&=0 dot{bm q}&=frac{bm p-ebm A}{m} dot{bm A}&=gbmpi/varepsilon_0 dot{bmpi} &=efrac{bm p-ebm A}{m} delta(bm r-bm q)-gnabla^2bm A/mu_0 end{aligned}$

消去正則動量，得到

$begin{aligned} ddot{bm q}&=-frac{e}{m}dot{bm A} ddot{bm A}-g^2c^2nabla^2bm A&=frac{ge}{varepsilon_0}dot{bm q}delta(bm r-bm q) end{aligned}$

如果按照慣常的理解，矢勢的負時間導數是電場，那麼加速度等於電荷乘電場強度除質量，似乎沒什麼問題。但是要注意的是，我們這裡的時間暫停，直接使得矢勢隨時間的變化變慢，而矢勢本身不變！由此我們得知，在這個時間暫停模型中，暫停電磁場的時間演化，會使得場中的物質粒子感受不到外場作用力的存在。換言之，就算主角跑起來[注6]，視錐細胞撞上了環境中靜止不動的光子，光子也無法被吸收從而被主角感知到。

對於其他形式的規範場（電磁、弱、強作用力），也會得到相同的結論。而一個解決的策略便是假定耦合項也按相同的比例增大。即，將哈密頓量寫成

$H=frac{(bm p-ebm A/g)^2}{2m}+gintleft(frac{bmpi^2}{2varepsilon_0}-frac{bm Acdotnabla^2bm A}{2mu_0}right),mathrm dV$

這樣我們得到的運動方程變成

$begin{aligned} ddot{bm q}&=-frac{e}{gm}dot{bm A} ddot{bm A}-g^2c^2nabla^2bm A&=frac{e}{varepsilon_0}dot{bm q}delta(bm r-bm q) end{aligned}$

這個結果倒是符合某些作品對時間暫停的想像：主角會受到環境的阻礙，也能影響與其所接觸的環境，但他所造成的影響僅僅局限在一個局部而不會向外傳播（被抑制的二階導）。

另外，在這個模型去討論帶電粒子自作用的重整化問題，可能會得到一些災難性的結果。

總結

本文基於哈密頓形式提出了可以描述時間暫停的一個物理模型，並對經典意義上以及粒子與場之間的相互作用作了簡單的討論。本文遺留下了不少問題，如場的規範對稱性問題，二次量子化問題，重整化問題等等，感興趣的讀者可以進一步挖掘。

註：

讀者可以回憶這個形式邏輯中的這個結論：從真命題為偽出發可以得到任意命題為真。
h更大的情形給不出太多新結果，而h更小的情形則是另一個話題——主角可以自由穿過環境中的任何物體，這和時間暫停沒啥關係。
從而箱子可以作為某種無窮深方勢阱的實例。
我們並不清楚這個模型下，規範對稱性是否還能保持。希望感興趣的讀者能在洛倫茲規範或者費曼規範下給出相應的討論。
式中出現的 $delta$ 函數用以反映點粒子行為。
姑且不論是否能跑起來。另外請讀者回想這句話：電磁場並不是什麼看不見摸不著的東西，相反，它是我們日常生活中唯一能看得見摸得著的東西。