出現在《歐布奧特曼》里的一道數列題
《歐布奧特曼》中的角色松戸森,被設定為一個少年天才科學家。他工作的地方,背後通常會有一塊黑板,上面寫著各種數學和自然科學方面的公式.
之前我在問題
奧特曼系列有哪些細思極恐的細節?
這裡寫了個回答:
淳于建:奧特曼系列有哪些細思極恐的細節?
其中提到了一道數列題
此處松戸君背後的黑板上寫了個「自己相似性」,並寫了兩個常差分方程
第一個遞推數列是:
結合下面的 ( 的定義域延拓到了 上)的函數圖像是個拋物線,以及下一個方程,這個方程應該是工作人員抄錯了,因為它就是一個極為普通的一階常係數線性差分方程
正確形式是:
第二個遞推數列是:
這個是一般形式,它就是著名的離散型Logistic方程(離散型ロジスティック方程式/Discrete Logistic Equation)
我當時給讀者們留下了一個簡單的小問題:
當 、 或 時,求出數列 通項公式.
現在公布答案:
一、
注意到
很顯然可得
( )
二、
這也就是松戸君黑板上的第一個公式的正確形式
解法(一)
注意到正弦函數或雙曲正弦函數的二倍角公式:
或 時, ( )
若
令 ,則
則顯然可由數學歸納法得出
( )
如果 取複數值的話,則可以發現對任意初值 ,數列 都適合這一通項公式
解法(二)
令 ,
顯然
可由數學歸納法得出
( )
同樣這裡的 取的是複數值,以滿足所有類型的初值
兩種方法得出的答案是等價的
三、
解法(一)
注意到餘弦函數或雙曲餘弦函數的二倍角公式:
令 ,則
則顯然可由數學歸納法得出
( )
同樣,這裡的 取的是複數值,以滿足所有類型的初值
解法(二)
令
顯然
顯然可由數學歸納法得出
( )
同樣這裡的 取的是複數值,以滿足所有類型的初值
兩種方法得出的答案是等價的
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