出現在《歐布奧特曼》里的一道數列題

01-31

《歐布奧特曼》中的角色松戸森，被設定為一個少年天才科學家。他工作的地方，背後通常會有一塊黑板，上面寫著各種數學和自然科學方面的公式.

之前我在問題

奧特曼系列有哪些細思極恐的細節？

這裡寫了個回答：

淳于建：奧特曼系列有哪些細思極恐的細節？

其中提到了一道數列題

此處松戸君背後的黑板上寫了個「自己相似性」，並寫了兩個常差分方程

第一個遞推數列是： $x_{n+1}=4left( 1-x_{n} right)$

結合下面的 $x_{n+1}=fleft( x_{n} right)$ （ $x_{n}$ 的定義域延拓到了 $R$ 上）的函數圖像是個拋物線，以及下一個方程，這個方程應該是工作人員抄錯了，因為它就是一個極為普通的一階常係數線性差分方程

正確形式是： $x_{n+1}=4x_{n}left( 1-x_{n} right)$

第二個遞推數列是： $x_{n+1}=ax_{n}left( 1-x_{n} right)$

這個是一般形式，它就是著名的離散型Logistic方程（離散型ロジスティック方程式/Discrete Logistic Equation）

我當時給讀者們留下了一個簡單的小問題：

當 $a=2$ 、 $a=-2$ 或 $a=4$ 時，求出數列 $left{ x_{n} right}$ 通項公式.

現在公布答案：

一、 $a=2$

注意到

$x_{n+1}=2x_{n}left( 1-x_{n} right)=2x_{n}-2x_{n}^{2}$

$2x_{n+1}=4x_{n}-4x_{n}^{2}$

$2x_{n+1}-1=4x_{n}-4x_{n}^{2}-1$

$1-2x_{n+1}=4x_{n}^{2}-4x_{n}+1=left( 1-2x_{n} right)^{2}$

很顯然可得

$1-2x_{n}=left( 1-2x_{0} right)^{2^{n}}$

$x_{n}=frac{1-left( 1-2x_{0} right)^{2^{n}}}{2}$

（ $nin N$ ）

二、 $a=4$

這也就是松戸君黑板上的第一個公式的正確形式

$x_{n+1}=4x_{n}left( 1-x_{n} right)=4x_{n}-4x_{n}^{2}$

解法（一）

注意到正弦函數或雙曲正弦函數的二倍角公式：

$sinleft( 2theta right)＝2sintheta costheta$

$sin^{2}left( 2theta right)＝4sin^{2}theta cos^{2}theta=4sin^{2}thetaleft( 1-sin^{2}theta right)$

$x_{0}=0$ 或 $x_{0}=1$ 時， $x_{n}=0$ （ $nin N^{*}$ ）

若 $0leq x_{0}leq 1$

令 $theta=arcsinsqrt{x_{0}}=arccosleft( 1-2x_{0} right)$ ，則 $x_{0}=sin^{2}theta$

則顯然可由數學歸納法得出

$x_{n}=sin^{2}left( 2^{n}theta right)=frac{1-2cosleft( 2^{n+1}thetaright)}{2}=frac{1-2cosleft( 2^{n+1}arccosleft( 1-2x_{0} right) right)}{2}$

（ $nin N$ ）

如果 $theta$ 取複數值的話，則可以發現對任意初值 $x_{0}$ ，數列 $left{ x_{n} right}$ 都適合這一通項公式

解法（二）

令 $x_{0}-frac{1}{2}=-frac{1}{4}left( alpha+frac{1}{alpha} right)$ ， $x_{0}=frac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right)$

顯然 $alpha=1-2x_{0}pmsqrt{left( 1-2x_{0} right)^{2}-1}$ $x_{1}=4x_{0}-4x_{0}^{2}=4cdotfrac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right)-4cdotleft( frac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right) right)^{2} =frac{1}{4}left( -alpha^{2}-frac{1}{alpha^{2}}+2 right)$

可由數學歸納法得出

$x_{n}=frac{1}{4}left( -alpha^{2^{n}}-frac{1}{alpha^{2^{n}}}+2 right)$

（ $nin N$ ）

同樣這裡的 $alpha$ 取的是複數值，以滿足所有類型的初值 $x_{0}$

兩種方法得出的答案是等價的

三、 $a=-2$

$x_{n+1}=-2x_{n}left( 1-x_{n} right)=2x_{n}^{2}-2x_{n}$

$x_{n+1}-frac{1}{2}=2x_{n}^{2}-2x_{n}-frac{1}{2}=2left( x_{n}-frac{1}{2} right)^{2}-1$

解法（一）

注意到餘弦函數或雙曲餘弦函數的二倍角公式：

$cosleft( 2theta right)＝2cos^{2}theta-1$

令 $theta=arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right)$ ，則 $x_{0}-frac{1}{2}=costheta$

則顯然可由數學歸納法得出

$x_{n}-frac{1}{2}=cosleft( 2^{n}theta right)=cosleft( 2^{n}arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right) right)$

$x_{n}=cosleft( 2^{n}theta right)+frac{1}{2}=cosleft( 2^{n}arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right) right) +frac{1}{2}$

（ $nin N$ ）

同樣，這裡的 $theta$ 取的是複數值，以滿足所有類型的初值 $x_{0}$

解法（二）

令 $x_{0}-frac{1}{2}＝frac{1}{2}left( α+frac{1}{α} right)$

顯然 $α=frac{2x_{0}-1pmsqrt{left( 1－2x_{0} right)^{2}－4}}{2}$

$x_{1}-frac{1}{2}=2left( x_{0}-frac{1}{2} right)^{2}-1=2left( frac{1}{2}left( α+frac{1}{α} right) right)^{2}-1=frac{1}{2}left( α^{2}+frac{1}{α^{2}} right)$

顯然可由數學歸納法得出

$x_{n}-frac{1}{2}=frac{1}{2}left( α^{2^{n}}+frac{1}{α^{2^{n}}} right)$

$x_{n}=frac{1}{2}left( α^{2^{n}}+frac{1}{α^{2^{n}}} right)+frac{1}{2}$

（ $nin N$ ）

同樣這裡的 $alpha$ 取的是複數值，以滿足所有類型的初值 $x_{0}$

兩種方法得出的答案是等價的