出現在《歐布奧特曼》里的一道數列題

《歐布奧特曼》中的角色松戸森,被設定為一個少年天才科學家。他工作的地方,背後通常會有一塊黑板,上面寫著各種數學和自然科學方面的公式.

之前我在問題

奧特曼系列有哪些細思極恐的細節?

這裡寫了個回答:

淳于建:奧特曼系列有哪些細思極恐的細節?

其中提到了一道數列題

此處松戸君背後的黑板上寫了個「自己相似性」,並寫了兩個常差分方程

第一個遞推數列是: x_{n+1}=4left( 1-x_{n} right)

結合下面的 x_{n+1}=fleft( x_{n} right)x_{n} 的定義域延拓到了 R 上)的函數圖像是個拋物線,以及下一個方程,這個方程應該是工作人員抄錯了,因為它就是一個極為普通的一階常係數線性差分方程

正確形式是: x_{n+1}=4x_{n}left( 1-x_{n} right)

第二個遞推數列是: x_{n+1}=ax_{n}left( 1-x_{n} right)

這個是一般形式,它就是著名的離散型Logistic方程(離散型ロジスティック方程式/Discrete Logistic Equation)

我當時給讀者們留下了一個簡單的小問題:

a=2a=-2a=4 時,求出數列 left{ x_{n} right} 通項公式.

現在公布答案:

一、 a=2

注意到

x_{n+1}=2x_{n}left( 1-x_{n} right)=2x_{n}-2x_{n}^{2}

2x_{n+1}=4x_{n}-4x_{n}^{2}

2x_{n+1}-1=4x_{n}-4x_{n}^{2}-1

1-2x_{n+1}=4x_{n}^{2}-4x_{n}+1=left( 1-2x_{n} right)^{2}

很顯然可得

1-2x_{n}=left( 1-2x_{0} right)^{2^{n}}

x_{n}=frac{1-left( 1-2x_{0} right)^{2^{n}}}{2}

nin N

二、 a=4

這也就是松戸君黑板上的第一個公式的正確形式

x_{n+1}=4x_{n}left( 1-x_{n} right)=4x_{n}-4x_{n}^{2}

解法(一)

注意到正弦函數或雙曲正弦函數的二倍角公式:

sinleft( 2theta right)=2sintheta costheta

sin^{2}left( 2theta right)=4sin^{2}theta cos^{2}theta=4sin^{2}thetaleft( 1-sin^{2}theta right)

x_{0}=0x_{0}=1 時, x_{n}=0nin N^{*}

0leq x_{0}leq 1

theta=arcsinsqrt{x_{0}}=arccosleft( 1-2x_{0} right) ,則 x_{0}=sin^{2}theta

則顯然可由數學歸納法得出

x_{n}=sin^{2}left( 2^{n}theta right)=frac{1-2cosleft( 2^{n+1}thetaright)}{2}=frac{1-2cosleft( 2^{n+1}arccosleft( 1-2x_{0} right) right)}{2}

nin N

如果 theta 取複數值的話,則可以發現對任意初值 x_{0} ,數列 left{ x_{n} right} 都適合這一通項公式

解法(二)

x_{0}-frac{1}{2}=-frac{1}{4}left( alpha+frac{1}{alpha} right)x_{0}=frac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right)

顯然 alpha=1-2x_{0}pmsqrt{left( 1-2x_{0} right)^{2}-1} x_{1}=4x_{0}-4x_{0}^{2}=4cdotfrac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right)-4cdotleft( frac{1}{4}left( -alpha-frac{1}{alpha}+2 right) right)^{2} =frac{1}{4}left( -alpha^{2}-frac{1}{alpha^{2}}+2 right)

可由數學歸納法得出

x_{n}=frac{1}{4}left( -alpha^{2^{n}}-frac{1}{alpha^{2^{n}}}+2 right)

nin N

同樣這裡的 alpha 取的是複數值,以滿足所有類型的初值 x_{0}

兩種方法得出的答案是等價的

三、 a=-2

x_{n+1}=-2x_{n}left( 1-x_{n} right)=2x_{n}^{2}-2x_{n}

x_{n+1}-frac{1}{2}=2x_{n}^{2}-2x_{n}-frac{1}{2}=2left( x_{n}-frac{1}{2} right)^{2}-1

解法(一)

注意到餘弦函數或雙曲餘弦函數的二倍角公式:

cosleft( 2theta right)=2cos^{2}theta-1

theta=arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right) ,則 x_{0}-frac{1}{2}=costheta

則顯然可由數學歸納法得出

x_{n}-frac{1}{2}=cosleft( 2^{n}theta right)=cosleft( 2^{n}arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right) right)

x_{n}=cosleft( 2^{n}theta right)+frac{1}{2}=cosleft( 2^{n}arccosleft( x_{0}-frac{1}{2} right) right) +frac{1}{2}

nin N

同樣,這裡的 theta 取的是複數值,以滿足所有類型的初值 x_{0}

解法(二)

x_{0}-frac{1}{2}=frac{1}{2}left( α+frac{1}{α} right)

顯然 α=frac{2x_{0}-1pmsqrt{left( 1-2x_{0} right)^{2}-4}}{2}

x_{1}-frac{1}{2}=2left( x_{0}-frac{1}{2} right)^{2}-1=2left( frac{1}{2}left( α+frac{1}{α} right) right)^{2}-1=frac{1}{2}left( α^{2}+frac{1}{α^{2}} right)

顯然可由數學歸納法得出

x_{n}-frac{1}{2}=frac{1}{2}left( α^{2^{n}}+frac{1}{α^{2^{n}}} right)

x_{n}=frac{1}{2}left( α^{2^{n}}+frac{1}{α^{2^{n}}} right)+frac{1}{2}

nin N

同樣這裡的 alpha 取的是複數值,以滿足所有類型的初值 x_{0}

兩種方法得出的答案是等價的

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