第二十七課：廣義逆矩陣的應用

02-01

廣義逆矩陣源於線性方程組，但是廣義逆矩陣不僅與線性方程組的求解問題有關，而且在求解系統的最優控制時非常有用。廣義逆矩陣的理論已經成為數理統計、最優化理論，現代控制理論和網路理論等學科的重要工具。本課我們著重介紹 $A^-$ 與 $A^+$ 在矩陣方程，線性方程組求解中的應用。

矩陣方程的通解

把定理1中的B換成E，就不難得到推論1

把定理1中的A換成E，就不難得到推論2

其中， $A^-b$ 是特解，另一部分是齊次通解。因為廣義逆矩陣 $A^-$ 不唯一，所以通解具有無窮多種形式。

相容方程的最小範數解

對於這裡的矩陣A而言，他滿足Moor-Penrose方程組中的兩條

這裡的D就是 $A^+$ ，所以說這裡的最小範數解實際上就是 $A^+b$

不相容方程組的解

不相容方程實際上就是Ax=b無解的方程組，因為我們求不出來他的具體解，故去考慮他的近似解。在數值分析中擬合部分的最小二乘辦法是類似的。

在幾何上，形象的描述一下最小二乘問題吧：

類似的，這裡的G實際上就是 $A^+$ ，最小二乘解也是 $A^+b$

Gb實際上是 $A^+b$

通過上面的介紹可以發現，無論是相容方程的最小範數解還是不相容方程的最小二乘解。其解都具有完全同樣的形式。 $A^+$ 真的是一個神奇的矩陣啊，M-P廣義逆矩陣的確有廣泛的應用。

終於來到了整個課程的最後一課。

今天是平安夜，明天就是聖誕節了。

祝願大家新的一年裡都能夢想成真。

感謝知乎的朋友們，數學院的大佬們，陪我走過這四個月的日日夜夜。謝謝你們。能夠認識這麼多優秀的人，是我一生的榮幸。我這裡特別想要感謝我文章審稿人，審稿人比較低調，我就不@了。我還要感謝 @十萬錯，讓我明白該如何發現生活中的快樂，如何成為一個有趣的人。還有許許多多其他的朋友們，謝謝你們，是你們讓我變得更好，成為自己想要成為的樣子。

讓世界變得更加美好，讓人們生活的更加幸福，是我們當代青年義不容辭的責任！2018，我們一起加油吧！