得到薛定諤方程的一種方法

02-01

本文的主要思路是構造實物粒子對應的波函數滿足的相對論波動方程（即外場存在時的克萊因高登方程），然後再進行非相對論近似得到一般的薛定諤方程。

在上一篇文章中（由電磁理論和狹義相對論能得到普朗克公式嗎？），假設電磁波由粒子組成，然後利用狹義相對論和平面波的能量與動量的關係，得到了四維動量和四維波矢的關係

$p^nu=?k^nu$

本來這個式子只對光子成立，德布羅意把這個式子推廣到一般情況，他說這個式子對任意粒子都成立，任何一個粒子的四維動量都與一個四維波矢相對應。於是，波粒二象性被推廣到了一般情況，即任何粒子都具有波粒二象性。既然粒子有波動性，就應該有一個波函數與之對應，我們知道真空中的單頻率平面電磁波中的光子四維動量都相同，我們假定這平面波的光強（由振幅決定）足夠弱，以至於只包含一個光子，此時的電磁波仍然是平面波，這樣我們就得到自由光子對應的波函數是平面波的形式，與此類比，則自由的實物粒子對應的波函數也應當是平面波形式，即波函數為

$varphisim e^{-ik^lambda x_lambda}=e^{-frac{i}{?}p^lambda x_lambda}$ （1）

將（1）式的指數項寫為積分的形式，即

$varphisim exp[{-frac{i}{?}}int_{0}^{x} {p^lambda dx_lambda} ]$ （2）

我們知道，相對論情況下，自由粒子的作用量函數為

$S=-int {p^lambda dx_lambda}$ （3）

則波函數（2）變為

$varphisim e^{frac{iS}{?}}$ （4）

這是自由粒子的情況。現在來看有外場的情況下，作為一個實例，可以考慮帶電粒子在電磁場中的情況，此時帶電粒子附加了一個動量，總動量為

$p^nu=m_0u^nu+qA^nu+...$ （5）

省略號表示如果帶電粒子有偶極子情況下附加的四維動量，我們暫且不考慮這些，而只考慮到 $qA^nu$ 項。此時波函數（2）應當考慮總動量的貢獻，其形式變為

$varphisim exp[{-frac{i}{?}}int_{0}^{x} {m_0u^lambda dx_lambda} {-frac{iq}{?}}int_{0}^{x} {A^lambda dx_lambda}]$ （6）

在電動力學中，帶電粒子在電磁場中的作用量函數可以寫為

$S=-int {m_0u^lambda dx_lambda}-int {qA^lambda dx_lambda}$ （7）

所以，我們仍然可以將波函數寫為

$varphisim e^{frac{iS}{?}}$ （8）

接下來便是尋找到波函數（6）或（8）滿足的相對論波動方程，受到麥克斯韋方程的啟發， $partial^mu$ 作用於這個波函數，得到

$partial^muvarphi=-frac{i}{?}m_0u^mu-frac{i}{?}qA^mu$ ，

或者寫為

$(i?partial^muvarphi-qA^mu)varphi=m_0u^muvarphi$ （9）

然後再用 $(i?partial_muvarphi-qA_mu)$ 作用於（9）式，則得到波函數（6）滿足的相對論波動方程為

$(i?partial_muvarphi-qA_mu)(i?partial^muvarphi-qA^mu)varphi-m_0^2c^2varphi=0$ （10）

這就是帶電粒子在電磁場中運動時，對應的波函數滿足的方程，如果 $A^mu=0$ ，則退化為自由粒子的克萊因-高登方程。我們知道，帶電粒子在電磁場中運動時，其相對論能量動量方程為

$(p_mu-qA_mu)(p^mu-qA^mu)-m_0^2c^2=0$ （11）

式中， $p^mu$ 為帶電粒子總的四維動量，包含了粒子與場相互作用的四維動量。比較（10）和（11），發現只要將總的四維動量做如下變換

$p^murightarrow i?partial^mu$ （12）

即可得到相對論波動方程，即（10）式。

接下來，就是要將波函數（7）和波動方程（10）進行非相對論近似，可以發現這樣得到的方程就是薛定諤方程。

首先對波函數（6）進行非相對論近似，先把它寫成如下形式

$varphisim exp[-{frac{i}{?}}int_{0}^{t} {(gamma m_0c^2+qV) dt} +{frac{i}{?}}int_{0}^{x} (gamma m_0bm v+qbm A)cdot dbm x]$

式中， $V$ 為 $A^nu$ 的零分量（由於波函數已經用 $varphi$ 表示了，所以為了避免重複，這裡把標勢用 $V$ 來表示）在非相對論近似下， $gammasimeq1+frac{1}{2}frac{v^2}{c^2}$ ，代入上式得到

$varphisim exp{frac{i}{?}}[-int_{0}^{t} {(frac{1}{2}m_0v^2+qV) dt} +int_{0}^{x} (m_0bm v+qbm A)cdot dbm x]times exp[{-frac{i}{?}}m_0c^2t]$ （13）

定義

$Psisim exp{frac{i}{?}}[-int_{0}^{t} {(frac{1}{2}m_0v^2+qV) dt} +int_{0}^{x} (m_0bm v+qbm A)cdot dbm x]$ （14）

可以看到， $Psi$ 的表達式中全是非相對論的物理量，也就是說 $Psi$ 即為非相對論情況下的波函數。（14）式的積分部分可以寫為

$-int_{0}^{t} {(frac{1}{2}m_0v^2+qV) dt} +int_{0}^{x} (m_0bm v+qbm A)cdot dbm x=int_{0}^{t} {(frac{1}{2}m_0v^2+ q bm vcdotbm A-qV)dt}$ （15）

這正是非相對論情況下，帶電粒子在電磁場中運動的作用量函數 $S$ ，所以在非相對論情況下，仍然可以把波函數寫為

$Psisim e^{frac{iS}{?}}$ （16）

也就是說，波函數和經典力學中的作用量之間上述關係是普遍的。

由（13）和（14），相對論波函數 $varphi$ 可以寫為

$varphisim Psi exp[{-frac{i}{?}}m_0c^2t]$ （17）

將（17）式代入相對論波動方程（10），得到

$(i?partial_muvarphi-qA_mu)(i?partial^muvarphi-qA^mu)Psi e^{{-frac{i}{?}}m_0c^2t}-m_0^2c^2Psi e^{{-frac{i}{?}}m_0c^2t}=0$

經過一些計算，最後得到

$i?frac{partial}{partial t}Psi-[frac{1}{2m}(-i?nabla-qbm A)^2+qV]Psi +frac{1}{2mc^2}[-?^2partial_t^2Psi-i?qPsipartial_tV-2i?qVpartial_tPsi+q^2V^2Psi]=0$