第十三課：矩陣的譜分解（一）

搶座大戰沒能搶過別人，上課走神沒有好好聽講，內心的苦澀難以言表，恐怕這一節的內容寫

不好了。

不說了，下面進入正題。

在線性代數中，我們已經討論過一個方陣的特徵值和特徵向量的問題，已經發現特徵值有著非常重要的作用。由於相似矩陣有相同的特徵值，因而人們總是希望在相似矩陣中找到結構最簡單的矩陣，就是對角矩陣或Jordan標準形矩陣。下面，我們將矩陣的特徵值，進一步尋求利用簡單矩陣來表示已知矩陣，即矩陣的譜分解。

在具體講解本節內容之前，我們先一起來回憶一下相關概念。我們在特徵值與特徵向量這一節中曾經介紹過譜、Jordan標準形以及幾何重數和代數重數的概念。如果忘記了，可以點開這個鏈接再回憶一下。這些概念是本節課程的基礎，我們下面具體介紹本節的內容。

單純矩陣的譜分解

顯然， ，特徵值 的代數重複度 就是特徵根 的重數。A對於特徵值 的特徵子空間的維數就是屬於 的線性無關特徵的特徵向量的最大個數。對於代數重複度和集合重複度而言，同樣有代數重複度大於等於幾何重複度。

下面我們介紹一下單純矩陣的概念：

判斷矩陣A是不是單純矩陣的充要條件就是看矩陣A是否與對角矩陣相似（即可以相似對角

化）。

我們下面介紹幾個定理：

這裡我們介紹一下冪等矩陣：第一次遇到冪等矩陣的時候是在學習第一章：酉空間的分解與投影。不好意思，那一節我沒有冪等矩陣的概念。這裡我再簡單說一下吧：若A為方陣，且

,則A稱為冪等矩陣。所有冪等矩陣都相似於對角元全為0或1的對角陣。下面我們給出具體證明：

其中 是A的特徵值。

由於P是可逆矩陣，所以P的n個列向量線性無關，可以進行分塊為 。同樣的道理 的n個行向量也線性無關。可以進行分塊為

於是矩陣A可以表示為：

證明完成。

定理3的分解式稱為矩陣A的譜分解，譜分解式中的 有如下性質：

我們舉一個譜分解的例子：

設A為單純矩陣，下式的譜分解為：

下面我們介紹一個更一般的單純矩陣譜分解定理：

該定理比定理3要求放寬了，不再要求必須要有n個特徵值了，這裡的k可以小於等於n。下面我們給出該定理的具體證明：

先來證明必要性：

注意這裡A是有k個相異的特徵值，如果k=n，那就是定理3。如果k<n，那麼我們可以將特徵值和合併，寫成帶 的和式。

第三條性質得證。

下面我們來證明充分性：

證明之前我們並不知道幾何重數等於代數重數的，我們這裡就先假設幾何重數等於代數重數。最後驗證的確幾何重數等於代數重數。

這個證明比較複雜，考的可能性也不高。這個證明就先這個著吧。（逃）