Logit模型和Logistic模型有什麼區別？

之前在《Logit究竟是個啥？——離散選擇模型之三》一文中提過，Logit應該理解成Log-it，這裡的it指的是Odds（「勝率」，等於P/1-P）。一個Logit變換就是從概率P到的過程，如下圖所示：

當我們討論Logit的模型時候，指的是下面這種形式：

注意，等號的右邊是自變數的線性組合。

我記得以前在學《數學建模》的時候，有一個人口增長模型：（1）如果沒有資源限制的話，人口隨時間的變化率 和總人口的數量（）呈線性關係（人口越多，繁殖的越快）——這就是指數增長模型（Exponential Growth，見下圖左側）。（2）實際情況下，由於受到環境、資源等各方面的限制，人口變化曲線一般呈S-型——起初人口數量較少的時候增長率較低，然後隨著時間的推移逐漸增加；當達到資源限制的瓶頸（K）的時候，增長率又下降至零——我們把這種非線性的S-型增長模型稱之為 Logistic Growth，如下圖右側所示。

求解上圖右側（Logistic Growth）對應的微分方程 。令 可得：

結合初始條件 時 ，可以得到微分方程的解為：

由於人口數量N總是小於閾值K（在 時刻的人口數量 小於K），所以 ，故而 是一個大於0的數。我們總能找到一個常數 使得 成立。這樣上式就可以簡化為：

更進一步：用 替換 、 替換 ，然後再把自變數換成 ，可以得到一個看起來更加舒服的式子：

（2）式即為Logistic函數。有沒有覺得這個式子很眼熟？

對於（1）式的Logit模型，只考慮一個自變數時：

兩邊同時做指數運算（求e次方）：

然後整理可得：

（2）、（3）不是一樣的么？

所以，Logit 模型和Logistic模型是一回事。

當我們說Logit模型 的時候，一般指的就是這個式子：

當我們說Logistic模型 的時候，一般指的是這個式子：

小結一下：

（1）Logit模型的左側是Odds的對數，而Logistic模型的左側是概率。

（2）Logit模型的右側是一個線性結構，而Logistic模型的右側是非線性的。

（3）二者可以相互轉化。

題外話：Logit模型是基於效用理論（可以參見上一篇文章：效用最大化準則：離散選擇模型的核心（Probit篇）——離散選擇模型之七）推導出來的，而Logistic函數可以通過求解微分方程得到。兩者最後竟然異曲同工——不得不承認數學的神奇！