（0）求Ising模型的二階Renyi熵

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首先感謝各位dalao的關注（完全沒有想到有這麼多人關注，其中還有幾位超級julao）,按照之前的預告，也許我應該按部就班先介紹什麼是MPS以及與之緊密相關的DMRG，但是我不打算這麼做，一方面是 @鄒益健 julao的回答已經提供了非常詳實的介紹了，以及我的確想好好整理一下再系統的寫一下（方便自己也方便看的人），當然更重要的原因是我想給目前正在看的paper裡面一個很重要的結論做一個標記（或者是記錄）。

首先我們考慮一個n階張量 $T_{mu1mu2dotsmu_n}(mu_k=1,2,dots,D_k)$ ,我們可以定義一個 $D_k$ 唯Hilbert空間 $mathcal{H}_k$ ,當然指數 $|mu_krangle$ 是Hilbert空間里的一組正交基，所以我們可以寫出 $bigotimes_{k=1}^nmathcal{H}_k$ 的全態 $|Trangle=sum_{{mu_k}}T_{mu1mu2dotsmu_n}|mu_1rangleotimes|mu_2rangleotimesdotsotimes|mu_nrangle$ .

我們知道，每一個張量應該對應一個態，所以一組連在一起的張量就是張量積，當然也可以表示成一個多態（體）系統 $bigotimes_x|V_xrangle$ ,其中每個 $x$ 在張量網路里就是一個頂點，其中我們用腿進行聯繫（比如 $x$ 連 $y$ 我們能得到一個 $D_{xy}$ 的Hilbert空間 $mathcal{H_{xy}}$ ）,沒有和其他頂點連著的頂點我們先與之關聯的是 $D_{xpartial}$ 維的Hilbert空間 $mathcal{H}_{xpartial}$ ,所以我們考慮兩個點 $x,y$ 相關聯Hilbert空間是 $mathcal{H}_{xy}otimesmathcal{H}_{yx}$ ,他們之間最大糾纏態是 $|xyrangle=frac{1}{sqrt{D_{xy}}}sum_{mu=1}^{D_{xy}}|mu_{xy}rangleotimes|mu_{yx}rangle$ ,你可以理解這就是頂點和頂點之間聯繫的物理表示，附加上 $bigotimes_x|V_xrangle$ 可以認為是沒有和其他頂尖聯繫的吳麗表示，這樣，圖內的張量網路用物理寫出來就是這樣一個態：

$begin{align} |Psirangle=Bigg(bigotimes_{langle xyrangle}langle xy |Bigg)Bigg(bigotimes_x|V_xrangleBigg) end{align}$ ,這樣的一個張量網路也叫作投影糾纏對態 $(PEPS)$ 當然張量網路不僅可以表示上圖的多體系統的態，還可以描述一個有bulk和boundary的系統，如圖，紅色是bulk腿，其餘的boundary腿。那我們怎麼寫它呢？首先Bulk的情況還是放在糾纏態那裡，所以 $begin{align} |Psirangle=Bigg(langlePhi_b|otimesbigotimes_{langle xyrangle}langle xy |Bigg)Bigg(bigotimes_x|V_xrangleBigg) end{align}$ ,其中 $|Phi_brangle$ 是bulk項.

不過我們還是用密度算符來描述吧,首先是糾纏項，現在這一項由bulk項（紅腿）和boundary項原本的糾纏（黑腿）構成：

$rho_P=rho_botimesbigotimes_{langle xyrangle}|xyranglelangle xy|$ ,再加上原本的沒有和其他頂點連在一起的項（藍腿）：

$rho=Tr_{P} Bigg(rho_Pprod_{x}|V_xranglelangle V_x|Bigg)$

我們可以看到，系統所有的糾纏的性質都在 $rho_P$ 里，而張量 $|V_xrangle$ 和裡面的糾纏項分屬獨立的Hilbert空間，並且 $Tr_P$ 是線性的，所以無論裡面。

我們接下來計算系統的糾纏熵，這裡我們用Renyi熵，Renyi熵的定義是：

$S_{n}(A)=frac{1}{1-n}logfrac{Tr rho_A^n}{(Trrho)^n}$ ,

這裡我們計算二階，所以有:

$e^{-S_2(A)}=frac{Tr[(rhootimesrho)mathcal{F_A}]}{Tr[rhootimesrho]}$ ,

我們定義: $begin{align*} &Z1=Tr[(rhootimesrho)mathcal{F}_A] & Z0=Tr[rhootimesrho] end{align*}$

（ $mathcal{F}_A$ 是交換算符，它的作用是交換Hilbert空間 $(mathcal{H}_v)^{otimes2}$ "在區域A的態， $mathcal{F}_A(|n_Arangle_1otimes|n_{overline{A}}rangle_1otimes|n_Arangle_2otimes|n_{overline{A}}rangle_2)=(|n_Arangle_2otimes|n_{overline{A}}rangle_1otimes|n_Arangle_1otimes|n_{overline{A}}rangle_2)$ ）

所以有 $S_2(A)simeq-logfrac{bar{Z1}}{bar{Z0}}$ (省了很多步，當 $D_{xy}$ 趨近無窮取等號)

下面我們來計算 $bar{Z1}$ ,把上面的帶進去，

$bar{Z1}=Tr[(rho_Potimesrho_P)mathcal{F}_Aprod_{x}overline{|V_xranglelangle V_x|otimes|V_xranglelangle V_x|}]$ ，

我們用 $|V_xrangle=U_x|0_xrangle$ 帶入得到

$overline{|V_xranglelangle V_x|otimes|V_xranglelangle V_x|}=int dU_x(U_xotimes U_x)(|0_xranglelangle0_x|otimes|0_xranglelangle0_x|)(U_x^{dagger}otimes U_x^{dagger})=frac{I_x+F_x}{D_x^2+D_x}$ （這裡用了舒爾引理，這篇文章給了怎麼得到上式：arxiv:1308.6595）

總之 $I_x$ 是identity算符， $F_x$ 是和上面一樣的交換算符，Hilbert空間維也進行了縮並： $D_x=prod_{y .n.n.x}D_{xy}$ ,現在所有的腿都連著x,.想像一下 $overline Z_1$ ,進過縮並，加入有N個頂點。它有 $2^N$ 項，每個頂點還有一個identity和swap算符.

聯想一下 spin-1/2的Ising model，我們分別用 $s_x=1(s_x=-1)$ 分別表示 $I_x,mathcal{F}_x$ 。在統計力學中一個非常重要的概念就是配分函數，如果我們從系統的這個特性函數出發可以得到系統所有的熱力學性質，實際上，上面的 $overline{|V_xranglelangle V_x|otimes|V_xranglelangle V_x|}$ 等於是確定了系統的骨架，再加上前面的糾纏項（由Bulk項和boundary的內腿項）也可以對以上的張量網路進行完備的描述，所以我們可以做一個認為這個張量網路和ising 模型是同構的（也許這裡用的不嚴格？）：

$overline{Z_1}=sum_{{s_x}}e^{-mathcal{A}[{ s_x }]}$

我們把上式寫開： $e^{-A{[s_x]}}equivfrac{1}{prod_{x}(D_x^2+D_x)}TrBigg[ (rho_Potimesrho_P)mathcal{F}_Aprod_{s_x=-1}mathcal{F}_x Bigg]$

這個式子很有意思，很明顯看到它由三個部分組成，糾纏項寫成 $exp[-S_2({s_x=-1};rho_P)]$ 首先 $mathcal{F}_x$ 是作用在每條腿上，可以看下面的張量網路圖，考慮boundary $D_{xpartial}^2,D_{xpartial}$ ,這裡我們定義一下boundary場：

$h_x=left{ begin{aligned} +1,xinoverline{A} -1,xin A end{aligned} right.$

所以我們這麼寫： $D_{xpartial}^{frac{1}{2}(3+h_xs_x)}$ ,我們對配分函數求對數，有：

$mathcal{A}[{s_x}]=S_2({s_x=-1};rho_P)-sum_{xinpartial}frac{1}{2}D_{xpartial}(3+h_xs_x)+sum_xlog(D_x^2+D_x)$

我們把 $rho_{bulk}$ 和Boundary糾纏態分開，

$mathcal{A}[{s_x}]=-sum_{langle xyrangle}frac{1}{2}log D_{xy}(s_xs_y-1)-sum_{xinpartial}frac{1}{2}log D_{xpartial}(h_xs_x-1)+S_2({s_x=-1},rho_b)+cost.$

在看前面的 $Z_0=Tr[rhootimesrho]$ 和上面幾乎一樣，除了boundary是 $h_x=1$ .所以我們可以定義 $F_1=-logoverline{Z_1},F_0=-logoverline{Z_0}$ ,所以我們有

$S_2(A)simeq F_1-F_0$

我們看到系統二階的Renyi熵由兩個不同邊界的自由能所給定，直觀看熵的來源正是boundary的從s=-1跳到s=1所損失掉的那部分能量。這樣在我們的把構造的張量網路和物理中的Ising模型聯繫一起。和普通的Iisng模型不同的是，這裡多了Bulk貢獻的 $rho_b$ ,以及boundarychang $h_x$ 也和截斷的區域 $A$ 有關。最後做一個近似 $D_{xy}=D_{xpartial}=D$ ,所以我們又可以簡化一波：

$mathcal{A}[{s_x}]=-frac{1}{2}log DBigg [ sum_{langle xyrangle}(s_xs_y-1)+sum_{xinpartial}(h_ss_x-1)Bigg ]$

正常綠色的小方塊表示 $mathcal{F}_x(I_x)$ 對應 $s_x=-1(s_x=+1)$ ,帶x的方塊表示 $mathcal{F}_A$ ,最後的虛線分別表示上面配分函數的三項：Boundary項，entanglement項，bulk項。

$mathcal{A}[{s_x}]=-frac{1}{2}log DBigg [ sum_{langle xyrangle}(s_xs_y-1)+sum_{xinpartial}(h_ss_x-1)Bigg ]$

接著上面簡化後的 $mathcal{A}[{s_x}]$ ,它有什麼幾何或者物理意義呢？上面我們知道整個Ising系統的能量（溫度）都由 $D_{xy},D_{xinpartial}$ 來決定，也就是 $D$ 換句話說，系統的能量是由spin-up和spin-down以及boundary的 $h_x$ 來確定的。我們考慮 $Z_0$ ,整個系統的boundary都由 $h_x=+1$ 掌控，很明顯當 $s_x=+1$ 系統的能量最低。

現在來看 $F_1$ ，這裡我們會劃定一個區域，這裡每一對糾纏都會對系統能量進行耗散。所以這裡的對於Renyi熵的極限是：

$S_2（A）=F_1-F_0simeqlog D min_{alpha times A}|sum|=log D|gamma_A|$ , $min_{alphatimes A}$ 表示包絡住區域A所穿過最少的Link 項.（如圖所示， $gamma_A$ 就是最少的，作為對比優於 $sum$ ）

假我們能找到一種包絡方式，既包絡住了A，又不經過任何的Link對，那麼這樣系統的renyi熵應該是0

所以也許，當一個熱力學系統進行演化時候，系統會趨向建立更多得長程關聯，反映出來就是非平衡態向平衡態的轉變，這個時候，Link是急速增長的，我們對它進行觀察（測量）時，實際是劃分出了一個子系統（上圖的A），當系統進行演化時，在進行測量時，你不可避免會穿過更多的Link對隨著時間的增長，所以不可避免的會得到熵是增長的情況。歸根結底是，當系統演化時，更多的信息爆炸的增長，測量的「」「速度」遠遠更不上，隨著時間的增長，只能捕捉越來越少的信息。

本渣剛進入這個有趣新奇的領域，以上的推導和說辭一定會出現不準確或者有錯，麻煩指正和討論，謝謝！

reference：

Holographic duality from random tensor networks Hayden, Patrick

Nezami, Sepehr Qi, Xiao Liang Thomas, Nathaniel Walter, Michael Yang, Zhao

arxiv:1601.01694