隨便學學Ads/CFT【1】

在本專欄中，你將不可避免的遇到：

很短，或者太監

不懂xxx的人講解xxx系列

每個字都認識，但是連起來看不懂系列

全篇翻(chao)譯(xi)

好了，開始吧。

本文是參考以下文章寫的：點我

Ads/CFT是什麼？

簡單來說，Ads代表一類引力模型，CFT代表一類量子場論模型，Ads/CFT是描述二者的對偶關係的理論。

我們希望找到的是一個量子場論和引力理論之間的對偶關係，一邊是量子的、強關聯的多體理論，另一邊是非量子的更高維的引力理論，只要算出其中一個理論的結論，就可以同時得到另一個理論的結論。

如果這樣的對偶關係存在的話，對物理研究又有什麼好處呢？我們都知道處理強關聯理論是很困難的，而處理弱耦合的理論則有一整套成熟的方法。如果可以將一個強耦合的量子場論轉化為一個弱耦合的引力理論，就會給問題帶來很多簡化，這就是Ads/CFT的動機之一。

其實用弱耦合處理強關聯問題有很多先例，尤其是在凝聚態中，一個強耦合的理論經過自由度的重新組合，會變為關於新自由度的「弱耦合」的理論。比較廣為人知的例如朗道的液體理論，還有QCD的夸克與π介子等等。

Ads/CFT也是這類模型的一個例子，不同的是，它將場論自由度重新組合為一個更高維的引力理論。

如果將Ads/CFT放在弦論的背景下思考，就會變得非常自然，因為弦理論中的規範場就是嵌入在高維的引力理論中的。（這句話等哪天寫「隨便學學弦論」再展開說吧）

Ads/CFT被應用在很多領域，我比較感興趣的當然是粒子物理方面的應用了。

我們的出發點是考慮一個格點場論的重整化群演化。其中哈密頓量寫成耦合常數乘以算符的一般形式，x代表格點位置，a代表格點的尺度(scale)。

下面就可以利用重整化群對a進行變化了，在a一步步變成2a、4a的過程中，格點在一步步被「粗粒化」，同時耦合常數也在產生變化。

我們可以將躍變推廣為連續變化，畢竟對於一般的場論，a可以是一個連續變化的能量尺度。

在重整化群演化的過程中，我們就可以得到關於耦合常數J的跑動方程。

其中的β稱為耦合常數J的β函數。對於弱耦合的系統，我們可以利用微擾展開的方法得到β函數的近似表達式。如上文所說，對於強耦合的系統，β函數是難以直接進行計算的。

如果我們可以利用Ads/CFT將強耦合的系統轉化為一個弱耦合的引力理論的話，一切都變得非常友好。

在Ads/CFT中，u變成了時空的額外的維度，每個u取值對應的格點則變成了時空中的一層。耦合常數J變成了引力理論中的場?。

也就是說如果Ads/CFT成立的話，我們只需要計算出引力理論中的φ，就可以得到量子場論中耦合常數J的結果了。

需要注意的是，φ和算符O應該具有相同的洛倫茲群表示，從而可以構成一個洛倫茲不變數。

待續。

感謝閱讀，歡迎各種補充和挑錯。