預備篇 III ：流、修正與停時

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今後，我們把概率學的主要目標放在隨機過程 ${X_t}_{tin {bf{R}}^+}$ 上（今後在概率學中若無特殊說明，則 ${bf{R}}^+$ 皆指 $[0,infty)$ ）。通過之前分析，我們知道（「hold」住滿足相容條件的隨機過程的）概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 是存在的。在正式討論隨機過程以及隨機分析之前，我們還需要進行一些約定，這會極大方便我們此後語言和記號的統一。

【一】流

流 ${cal F}_t$

我們以為考慮的概率空間是 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ ，現在我們要在其上附加一個屬性——流(Filtration)，即滿足「 $sleq tRightarrow {cal F}_ssubseteq {cal F}_tsubseteq {cal F}$ 」的 $sigma-$ 代數流 ${{cal F}_t}_{tin {bf{R}}^+}$ 。

註： ${cal F}_infty:=sigma(bigcup_{tin {bf R}_+}{cal F}_t)$ 。

稱帶流的概率空間為漏斗形概率空間，記作 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ ，簡稱為概率空間。在今後的概率學中，若無特殊聲明，均約定概率空間均指附有「流」的概率空間，即 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 。

誘導的流 ${cal F}_t^X$

初看概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 中的 ${{cal F}_t}$ ，會難以摸清「流」這個概念，甚至不知道它是怎麼得來的，因此我們給出一些說明以及我們通常用的流：

概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 上的隨機過程 ${X_t}$ 是指， ${X_t}$ 不僅要在 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 上，還要適應於流 ${{cal F}_t}$ ，即對任意 $tin{bf{R}}_+$ ， $sigma(X_t)subseteq {cal F}_t$ 。此時，也稱隨機過程 ${X_t}$ 為 ${cal F}_t-$ 適應隨機過程。

由Kolmogorov相容性定理可以保證隨機過程 ${X_t}$ 的存在性，但其到底適應哪個流呢？最自然地，我們會考慮這樣一個 $sigma-$ 代數流，令 ${cal F}_t^X=sigma({X_s:0leq sleq t})$ ，稱其為由隨機過程 ${X_t}$ 誘導的流。顯然， ${X_t}$ 適應於其自身誘導的流 ${{cal F}_t^X}$ 。

由於我們往往考慮某個概率空間上的很多隨機過程，因此這個概率空間中的流顯得尤為重要，到底用哪個流才能使得所有隨機過程都關於其適應呢？通常地，我們會考慮所包含信息量最大的流，或者說採用某個包含信息量最大的隨機過程誘導的流。

通常條件

概率空間 $(Omega,{cal F},{bf P},{{cal F}_t})$ 中的流 ${{cal F}_t}$ 若滿足：（1）完備性： ${cal F}_0$ 包含 $cal F$ 中一切 ${bf P}-$ 零集；（2）右連續性： ${cal F}_t={cal F}_{t_+}:=bigcap_{u>t}{{cal F}_u}$ ， $forall tin {bf{R}}_+$ 。則稱 ${{cal F}_t}$ 滿足「通常條件」。

【二】修正（概率空間）

概率空間的完全化

由於任何概率空間 $(Omega,{cal F},{bf P},{{cal F}_t})$ 均可完全化，即讓任一 ${bf P}-$ 零集的子集成為可測集，且也為零測集。因此，在今後的概率學中，均默認 $(Omega,{cal F},{bf{P}})$ 是完全的概率空間。

流的修正

【加強修正】

（待更）

【普遍化修正】

（待更）

【三】修正（隨機過程）

對於概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 上的隨機過程 ${X_t}$ ，其性質不一定很好，例如不一定軌道連續，不一定可測。因此我們需要對其進行一些修正，使得修正後的隨機過程 ${tilde{X}_t}$ 與之前的 ${X_t}$ 「等價」。對於「等價」，有以下三種類型：

（1）不可區分： ${bf{P}}[X_t=tilde{X}_t;forall tin {bf{R}}_+ ]=1$

（2）等價： ${bf{P}}[X_t=tilde{X}_t]=1$ ， $forall tin{bf{R}}_+$

（3）弱等價： $forall nin{bf{N}}_+$ ， $forall 0leq t_1<t_2<...<t_n<infty$ ， $forall Ain{cal B}({bf{R}}^n)$ ，有 ${bf{P}}[(X_{t_1},...,X_{t_n})in A]={bf{P}}[(tilde{X}_{t_1},...,tilde{X}_{t_n})in A]$

注1：其中，（1） $Rightarrow$ （2） $Rightarrow$ （3），且第二種等價又被稱為「互為修正」。

注2：當流滿足通常條件時，（1） $Leftrightarrow$ （2）。

我們一般對隨機過程 ${X_t}$ 進行兩種修正：第一種是連續修正，目的是為了使某些集合可測；第二種是可測性修正，目的是為了使隨機過程可以對 $(t,omega)$ 進行積分。

【隨機過程的連續性】

（1）連續：任一軌道連續

（2）右連左極：任一軌道右連續，且左極限存在

注（Kolmogorov連續性修正）：隨機過程 ${X_t}$ 滿足： ${bf E}|X_t-X_s|^alphale C|t-s|^{1+beta}$ ，（ $alpha,beta,C>0$ ）則其有連續性修正 ${tilde{X}_t}$ （與 ${X_t}$ 「等價」），且有局部H?lder連續性。

【隨機過程的可測性】

（1）循序可測：對任意 $tin {bf{R}}_+$ ， $X_t$ 為 $([0,t]timesOmega,{cal B}_ttimes {cal F}_t)$ 到 $({bf{R}},{cal B})$ 上的可測函數

（2）可測： $X_t$ 為 $({bf{R}}_+timesOmega,{cal B}({bf{R}}_+)times {cal F})$ 到 $({bf{R}},{cal B})$ 上的可測函數

註：對於 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 上的可測隨機過程 ${X_t}$ ，其一定存在循序可測的修正 ${tilde{X}_t}$ ，因此在無特殊聲明時，今後考慮的可測過程均為修正後的循序可測過程，或者說循序可測與可測不再區分。

對於以上幾種性質，有：連續 $Rightarrow$ 右連左極 $Rightarrow$ 循序可測 $Rightarrow$ 可測

注1： ${bf{R}}_+timesOmega$ 中由全體連續（右連左極）的過程產生的 $sigma-$ 代數 $cal P$ （ $cal O$ ）稱為可料（可選） $sigma-$ 代數，其中集合稱為可料（可選）集。關於 $cal P$ （ $cal O$ ）可測的過程稱為可料（可選）過程，因此有可料 $Rightarrow$ 可選 $Rightarrow$ 循序可測 $Rightarrow$ 可測 。

注2：左連續過程是可料過程！

【四】停時

對於概率空間 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 上的隨機過程 ${X_t}$ ，我們有時候會考慮這個過程進行到什麼時候停止，即達到某一個時刻 $tin{bf{R}}_+$ ，因此，我們需要再考慮一個取值於 $bar{{bf{R}}}_+$ 的隨機變數 $tau$ ，如果其滿足：

$forall tin{bf{R}}_+$ ， ${tauleq t}in{cal F}_t$

則稱 $tau$ 為 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 上的停時，或關於 ${{cal F}_t}$ 適應的停時。

註：當流滿足「通常條件」時，等價定義為 $forall tin{bf{R}}_+$ ， ${tau< t}in{cal F}_t$ 。

對於停時 $tau$ ，可以延伸出以下幾個相關定義：

${cal F}_tau$ ——給定 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 及停時 $tau$

【定義】 ${cal F}_tau:={A:Acap{tauleq t}in{cal F}_t,forall tin{bf{R}}_+}$ ，含義是「停時前的信息」。

【性質】 $X$ 關於 ${cal F}_tau$ 可測 $Leftrightarrow$ $forall tin {bf{R}}_+$ ， $X1_{{tauleq t}}$ 關於 ${cal F}_t$ 可測

（註： ${cal F}_tau$ 為 $cal F$ 的子 $sigma-$ 代數，且 $tauin{cal F}_tau/{bf{R}}$ ；若停時 $sigmaleqtau$ ，則 ${cal F}_sigmasubseteq {cal F}_tau$ ； ${cal F}_{sigmawedge tau}={cal F}_sigmacap {cal F}_tau$ ， ${cal F}_{sigmavee tau}=sigma({cal F}_sigmacup{cal F}_tau)$ ）

$X_{tau}$ ——給定 $(Omega,{cal F},{bf{P}},{{cal F}_t})$ 、停時 $tau$ 及隨機過程 ${X_t}$

【定義】 $X_{tau}(omega):=X_{tau(omega)}(omega)$ ，其為 $Omega$ 上的隨機變數。

【性質】若 ${X_t}$ 關於流 ${{cal F}_t}$ 循序可測，則 $X_{tau}$ 關於 ${cal F}_tau$ 可測。