列聯表篇之四：單向有序列聯表的秩和檢驗

單向有序表分兩種，一種是分組或因子是有序的，結果是無序的。這種有序可以是連續變數取不同的水平，比如壓力、速度、年齡等等，雖然是連續數據，但我們將其分成幾段或取幾個水平，熟悉方差分析和DOE的人對此比較容易理解。當然在這裡結果變數是計數的，如不同壓力水平下PV管爆裂的數量。

還有的分組是順序數據，如技工級別、服務員星級等，這種順序有不少是基於主觀評價。

這種單向有序表的分析仍採用卡方檢驗，如比較各組的比率或構成。

第二種單項有序表是結果是有序的，分組是無序的。結果的順序一般基於主觀或客觀的評價，如醫學上通常將療效主觀分為無效、好轉、有效、顯效、治癒等級別，員工考核分為A、B、C、D四級，產品分為優質品、一等品、二等品等，電影評價1星到5星。如下表

對於這種表，卡方檢驗通常不太適用，大多會選擇秩和檢驗、Ridit檢驗或Logistic回歸。本文著重介紹秩和檢驗，下一篇介紹Ridit檢驗，Logistic檢驗比較複雜，在處理高維列聯表時比較常用，在回歸分析單元再考慮。

n秩和檢驗根據組數不同可分為2樣本Wilcoxon檢驗和多樣本(>2組)Kruskal-Wallis檢驗。

2樣本Wilcoxon秩和檢驗(Mann-Whitney U檢驗)

熟悉連續數據非參數檢驗的同志們應該對這個名詞很熟悉，當兩個樣本數據不滿足且無法變換成正態分布時，Wilcoxon檢驗通常是首選。

nWilcoxon檢驗是由化學家和統計學家FranknWilcoxon(1892.9.2—1965.11.18)於1945年提出。分為兩種，一種是針對兩組獨立樣本Wilcoxon秩和檢驗(Mann-Whitney檢驗)，一種是針對配對樣本的Wilcoxon符號秩檢驗。

n其原理就是不管樣本中的數據到底是多少，將兩樣本從小到大排序，然後按順序賦秩，最小的賦為1，最大的賦為n1+n2，如果兩個樣本的秩相差不大，則說明兩個總體不存在顯著差異，這裡通常是指位置上的差異。

對於單項有序表來說，也採用這種思想來比較兩組數據是否在位置上存在顯著差異。實際上是考察兩組所代表的不同的處理的效應是否存在顯著差異。

下面借用論文《單向有序列聯表的卡方檢驗和秩和檢驗的比較》中的案例來說明其檢驗過程。

例1：採用兩種不同的藥物來治療黃褐斑的療效見下表，問題是兩種不同的治療方式在療效上存在顯著差異嗎？

第一步：提出假設

H0：兩種治療方法的療效無顯著差別

Ha：兩種治療方法的療效有顯著差別

第二步：編秩

列聯表與連續數據秩和檢驗之間的差異在於相等的數據非常多，如「痊癒」有44例，如果從1開始賦秩，其秩就是1~44，因為這44例不存在先後順序，因此每一例都取平均秩，即(1+44)/2=22.5。下一個「顯效」的秩就要從45開始編到103，平均秩為(45+103)/2=74。以此類推，具體見下表的列(6)。當然你也可以從「無效」開始編秩。

第三步：計算各樣本的秩和T

各組的秩和就是各組每個水平的例數與本水平的平均秩相乘，然後相加。見下表的列(7)、(8)。

第四步：確定統計量

對於小樣本來說，通常會選擇一個樣本量較小樣本T值作為檢驗統計量，因為不可能採用正態分布來近似，需要用精確的概率計算。在總的秩和為n(n+1)/2中，用樣本量為n1的秩和T出現的概率以及小於此概率的所有概率之和作為p值，這是雙邊檢驗的情況。如果是單邊檢驗，則只加一邊的即可。

比如兩個樣本的樣本量分別為3、5，假如不存在相同的秩，從秩1~8中隨機抽3個秩，則有

種組合，因此每一種組合出現的概率為1/56，則3個秩之和出現的概率為

對於單邊檢驗來說，如果秩和等於6、7(備擇假設為小於)，或等於20、21(備擇假設為大於)，則可以拒絕原假設。以7為例，6和7出現的概率之和為2/56，小於我們設定的顯著性水平0.05。如果是雙邊檢驗，則只有出現6或21時才可以拒絕。

n當然這樣計算也太麻煩了，下面這張表把檢驗的上下限都標出來了，直接查表就可以了。這張表適用於較小的樣本量在10以內，且兩個樣本量之差在10以內的秩和檢驗。當然，如果不願意查表，直接交給軟體就行了。

表中可以看到剛才的例子中，在顯著性水平為0.05時，單邊檢驗的臨界值為7和20，雙邊檢驗的臨界值是6和21。

如果實際情況超出了表格的範圍，則可以用正態分布來近似。檢驗統計量因假設的不同而有所區別。設某一樣本(通常選樣本量較小的)的秩和為T，N=n1+n2，則檢驗統計量z分別為：

左側檢驗：

右側檢驗：

雙側檢驗：

其中tj為第j個結的個數，l為存在結的水平數。

本例中計算出：

修正的統計量為：

第五步：查正態分布表，或t分布表(自由度為∞)，α=0.05時臨界值為1.645，因此拒絕原假設。即兩種治療方法療效顯著不同。

多樣本的Kruskal-Wallis H檢驗

在連續數據的比較分析中，一個和兩個樣本一般用t檢驗，而三個及以上就要用到單因子方差分析了。

單項有序表的檢驗中，兩個樣本用到Wilcoxon秩和檢驗，而三個及以上的樣本就要用到Kruskal-Wallis檢驗了，可見這種方法可以類別單因子方差分析。

雖然本文介紹的方法主要是針對列聯表的，但屬於非參數檢驗的範疇，這些方法對於連續數據同樣適用，在非參數檢驗單元中，大家還會看到它們。

與方差分析類似，Kruskal-Wallis檢驗被稱為Kruskal-Wallis方差分析，也是要計算離差平方和，不同的是這個平方和服從分布。

Kruskal-Wallis檢驗是由兩位統計學家於1952年提出的，下面我們還是用一個例子來介紹其分析思路。

例2：某公司將操作工的技能分為初級、中級、高級三級，人力資源部收集了四個生產車間員工數據，想知道四個車間的操作工構成是否存在顯著差異。

第一步：提出假設

H0：四個車間的操作工構成無顯著差別

Ha：至少有一個車間與其它車間不同

第二步：編秩

編秩方法與前面相同。

第三步：求秩和

計算每一組的秩和，計算方法與前面相同。

第四步：計算H統計量

熟悉方差分析的人看到這個公式，立刻就會意識到這是離差平方和的計算，後面的式子只不過是簡化以後的，比較方便計算。

同樣的，如果存在結，則需要加以修正。

本例的數據計算出H=12.6，Hc=15.4。

第五步：查分布表，自由度為組數-1，本例為4-1=3。取α=0.05，則臨界值為9.35，因此我們可以拒絕原假設，即四個車間操作工構成存在顯著差異。

如果拒絕原假設，下一步通常是多重比較，方法有很多種，放到非參數檢驗單元中介紹。

小樣本的分析思路與前面的Mann-Whitney檢驗類似，也需要通過查表，感興趣者可參閱相關教科書。

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