【方程組的解2】- 圖解線性代數 08

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這次我們來看看三個方程式, 三個未知數的方程組解(即平面方程組)的情況. 其中每一個方程可以看做代表了三維空間中的一個平面, 而方程組的解集就可能是空間中的一部分: 無解, 一個交點, 一條直線或一個平面;

方程組唯一解的情況

從行視圖來理解就是三個平面相交於一點:

如果從矩陣變換的角度來理解的話, 請觀察下圖:

觀察要點:

• 經過矩陣變換後, 仍是三維空間;

• 解向量 x 在變換後, 與向量 v 重合;

• 向量 v 可以被矩陣 A 的列向量線性表出, 也就是落在列空間內;

方程組無解

其中三個平面交線相互平行, 不會有任何共同的交點, 所以無解:

如果從矩陣變換的角度來理解的話, 請觀察下圖:

觀察要點:

• 經過矩陣變換後, 空間被壓縮為平面;

• 由於向量 v 在平面之外, 所以無法被矩陣的列向量線性表出, 落在列空間之外;

方程組有無窮解 - 解集為一條直線

三個平面相交於一條直線:

如果從矩陣變換的角度來理解的話, 請觀察下圖:

觀察要點:

• 空間經過變換被壓縮為平面;

• 行列式為 0, 即逆矩陣不存在, 但解仍然存在, 因為 v 就在該平面上, 即在列空間內 ;

• 圖形中紅色細線上的所有向量在變換後都被壓縮到原點, 成為零向量;

方程的通解為特解+零空間上解所有的線性組合:

方程組無窮解 - 解集為一個平面

三個平面實為一個平面:

如果從矩陣變換的角度來理解的話, 請觀察下圖:

觀察要點:

• 矩陣變換將空間壓縮為一條直線;

• 行列式為 0 , 即逆矩陣不存在, 但解仍然存在, 因為 v 剛好就在這條直線上, 還在列空間內;

• 圖形中淺藍色平面上的所有向量在變換後都被壓縮到原點, 成為零向量;

方程的通解為特解+零空間上解所有的線性組合:

這一次我們從行視圖和列視圖的幾何角度理解線性方程組: 每個方程組都有一個線性變換與之聯繫; 當逆變換存在時, 就能用逆變換來求解方程組的解;逆變換不存在時, 行列式為 0, 就需要考察向量 v 是否落在列空間內了.

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見! 因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 還請各位老師和朋友多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列, 您的關注和轉發就是鼓勵我繼續前行的最大動力, 感謝感謝!

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【向量】- 01http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxNzg3MTE3Ng==&mid=2247485549&idx=1&sn=39a367306d7d190a99883fbac211983d&chksm=9bdfb04aaca8395c3a855c6d74adc57c5327ffcbe3087f5a955c043ea70abeec0bd2616c6e24&scene=21#wechat_redirect【基底 / 線性組合 / 線性無關(相關)】- 02