能帶結構圖、態密度圖的基本分析方法

02-01

本文整理自回答如何分析能帶結構圖、態密度圖，及相關的性質的基礎分析？ - 知乎

色散圖和DOS圖一般也就長這樣

不光電影有3D的，態密度也有3D

（a）頂視圖和（b）側視圖，其中的黃色表示電荷累積，青色相反。

（c）聲子譜和態密度。面外的橫波光學聲子模式（TOz）在布里淵區中心區域軟化預示著強非簡諧性。

（d，e）三維聲子譜。

那麼我想很多人要問什麼是聲子譜，什麼是對稱點

查書、查書、查書

態密度

定義：態密度就是單位頻率間隔內的狀態數（振動模式數目），表示為：

一維情況下的態密度

一維情形，波矢空間單位長度上的模式數為L/2pi。當L很大時，點是准連續的，對於任意間隔dq，q在這一間隔中的模數為：

頻率在(w，w+dw)範圍內的模數，可以通過色散關係給出。由態密度的定義得到，

好了，到現在，我們差不多知道了 $g(omega)$ 是怎麼來的了。

只要知道色散關係，就有了態密度。

那麼色散關係不用再解釋了吧

一維單原子鏈的色散關係

這個色散關係從哪裡來？

將晶格振動簡化為簡諧振動，然後求解微分方程就得到上圖的色散關係。

對於三維晶體的態密度和聲子譜，將一維的結論稍微擴展一下就可以啦。

那麼態密度有啥用？

有了態密度，我們差不多就有了一切。

很多時候分布比數量來的重要，一個女人性感不性感，關鍵要看肉是長在胸部還是長在臉上，而不是她的體重。所以呀，分布決定性狀。

同樣，對於一個物理體系，能量分布很重要。能量分布決定了體系的狀態或者材料的性能。統計力學中，我們常會遇到配分函數，配分函數的實質就是能量的分布。能量分配方式—>配分函數->體系的熵和自由能->體系的狀態。態密度實際上也就對應著能量分布，有了態密度，我們就可以根據統計力學得到想要的熱力學量(hongguanxingzhi)。

眾騷年們，在這裡，我得提一下，雖說態密度很強悍，但態密度不是你想算，想算就能算。只有一部分體系是可以算的，可以算的這些體系也是很難算的。

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下面接著說能帶

簡述一下能帶論

孤立原子中電子的分立能級

多原子系統電子能級的分裂

留給你們一個問題：多原子體系能級為啥要分裂？

一維能帶結構擴展布里淵區表示

上面那個問題沒人回答啊，我就再補一張圖

金屬、半導體和絕緣體的能帶結構

在單原子中電子能級是分立的，這一點是基於量子力學的描述，否則按照經典物理描述能級就是連續的。在晶體中，由多個原子的共同作用使得單能級分裂為N個能級，看起來這些能級就像連續分布的的，我們就叫它能帶。於是我們才有了價帶、導帶、禁帶的概念。

再來看看文獻中的能帶圖

這個和上面那個圖沒有什麼區別，只不過這時晶體（三維格子）的能帶圖，之上的是一維的。這也是一個色散圖，只不過是個能量—波矢圖。

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實際上除了dos，energy band，還有charge density.

但總的來說都離不開分布

還不懂，就認真看固體物理。固體物理看不懂，趕緊回頭看統計力學和量子力學。

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5-9更

能帶圖的橫坐標是在模型對稱性基礎上取的K點。為什麼要取K點呢？因為晶體的周期性使得薛定諤方程的解也具有了周期性。按照對稱性取K點，可以保證以最小的計算量獲得最全的能量特徵解。能帶圖橫坐標是K點，其實就是倒格空間中的幾何點。縱坐標是能量。那麼能帶圖應該就是表示了研究體系中，各個具有對稱性位置的點的能量。我們所得到的體系總能量，應該就是整個體系各個點能量的加和。
主要是從以下三個方面進行定性/定量的討論：n1、電荷密度圖（charge density）；n2、能帶結構（Energy Band Structure）；n3、態密度（Density of States，簡稱DOS）。
電荷密度圖是以圖的形式出現在文章中，非常直觀，因此對於一般的入門級研究人員來講不會有任何的疑問。唯一需要注意的就是這種分析的種種衍生形式，比如差分電荷密圖（def-ormation charge density）和二次差分圖（difference charge density）等等，加自旋極化的工作還可能有自旋極化電荷密度圖（spin-polarized charge density）。所謂「差分」是指原子組成體系（團簇）之後電荷的重新分布，「二次」是指同一個體系化學成分或者幾何構型改變之後電荷的重新分布，因此通過這種差分圖可以很直觀地看出體系中個原子的成鍵情況。通過電荷聚集（accumulation）/損失（depletion）的具體空間分布，看成鍵的極性強弱；通過某格點附近的電荷分布形狀判斷成鍵的軌道（這個主要是對d軌道的分析，對於s或者p軌道的形狀分析我還沒有見過）。分析總電荷密度圖的方法類似，不過相對而言，這種圖所攜帶的信息量較小。
成鍵前後電荷轉移的電荷密度差。此時電荷密度差定義為：delta_RHO = RHO_sc - RHO_atomn其中 RHO_sc 為自洽的面電荷密度，而 RHO_atom 為相應的非自洽的面電荷密度，是由理想的原子周圍電荷分布堆徹得到的，即為原子電荷密度的疊加(a superposition of atomic charge densities)。需要特別注意的，應保持前後兩次計算（自洽和非自洽）中的 FFT-mesh 一致。因為，只有維數一樣，我們才能對兩個RHO作相應的矩陣相減。
能帶結構分析現在在各個領域的第一原理計算工作中用得非常普遍了。首先當然可以看出這個體系是金屬、半導體還是絕緣體。對於本徵半導體，還可以看出是直接能隙還是間接能隙：如果導帶的最低點和價帶的最高點在同一個k點處，則為直接能隙，否則為間接能隙。
1）因為目前的計算大多採用超單胞（supercell）的形式，在一個單胞里有幾十個原子以及上百個電子，所以得到的能帶圖往往在遠低於費米能級處非常平坦，也非常密集。原則上講，這個區域的能帶並不具備多大的解說/閱讀價值。因此，不要被這種現象嚇住，一般的工作中，我們主要關心的還是費米能級附近的能帶形狀。

2）能帶的寬窄在能帶的分析中佔據很重要的位置。能帶越寬，也即在能帶圖中的起伏越大，說明處於這個帶中的電子有效質量越小、非局域（non-local）的程度越大、組成這條能帶的原子軌道擴展性越強。如果形狀近似於拋物線形狀，一般而言會被冠以類sp帶（sp-like band）之名（此陳述有待考證—博主加）。反之，一條比較窄的能帶表明對應於這條能帶的本徵態主要是由局域於某個格點的原子軌道組成，這條帶上的電子局域性非常強，有效質量相對較大。
3）如果體系為摻雜的非本徵半導體，注意與本徵半導體的能帶結構圖進行對比，一般而言在能隙處會出現一條新的、比較窄的能帶。這就是通常所謂的雜質態(doping state)，或者按照摻雜半導體的類型稱為受主態或者施主態。
4）關於自旋極化的能帶，一般是畫出兩幅圖：majority spin和minority spin。經典的說，分別代表自旋向上和自旋向下的軌道所組成的能帶結構。注意它們在費米能級處的差異。如果費米能級與majority spin的能帶圖相交而處於minority spin的能隙中，則此體系具有明顯的自旋極化現象，而該體系也可稱之為半金屬（half metal）。如果majority spin與費米能級相交的能帶主要由雜質原子軌道組成，可以此為出發點討論雜質的磁性特徵。
5）做界面問題時，襯底材料的能帶圖顯得非常重要，各高對稱點之間有可能出現不同的情況。具體地說，在某兩點之間，費米能級與能帶相交；而在另外的k的區間上，費米能級正好處在導帶和價帶之間。這樣，襯底材料就呈現出各項異性：對於前者，呈現金屬性，而對於後者，呈現絕緣性。因此，有的工作是通過某種材料的能帶圖而選擇不同的面作為生長面。具體的分析應該結合試驗結果給出。
原則上講，態密度可以作為能帶結構的一個可視化結果。很多分析和能帶的分析結果可以一一對應，很多術語也和能帶分析相通。但是因為它更直觀，因此在結果討論中用得比能帶分析更廣泛一些。簡要總結分析要點如下：n 1）在整個能量區間之內分布較為平均、沒有局域尖峰的DOS，對應的是類sp帶（此陳述有待考證—博主加），表明電子的非局域化性質很強。相反，對於一般的過渡金屬而言，d軌道的DOS一般是一個很大的尖峰，說明d電子相對比較局域，相應的能帶也比較窄。
2）從DOS圖也可分析能隙特性：若費米能級處於DOS值為零的區間中，說明該體系是半導體或絕緣體；若有分波DOS跨過費米能級，則該體系是金屬。此外，可以畫出分波（PDOS）和局域（LDOS）兩種態密度，更加細緻的研究在各點處的分波成鍵情況。
3）從DOS圖中還可引入「贗能隙」（pseudogap）的概念。也即在費米能級兩側分別有兩個尖峰。而兩個尖峰之間的DOS並不為零。贗能隙直接反映了該體系成鍵的共價性的強弱：越寬，說明共價性越強。如果分析的是局域態密度（LDOS），那麼贗能隙反映的則是相鄰兩個原子成鍵的強弱：贗能隙越寬，說明兩個原子成鍵越強。上述分析的理論基礎可從緊束縛理論出發得到解釋：實際上，可以認為贗能隙的寬度直接和Hamiltonian矩陣的非對角元相關，彼此間成單調遞增的函數關係。
4）對於自旋極化的體系，與能帶分析類似，也應該將majority spin和minority spin分別畫出，若費米能級與majority的DOS相交而處於minority的DOS的能隙之中，可以說明該體系的自旋極化。
5）考慮LDOS，如果相鄰原子的LDOS在同一個能量上同時出現了尖峰，則我們將其稱之為雜化峰（hybridized peak），這個概念直觀地向我們展示了相鄰原子之間的作用強弱。

由於金屬的能帶有可能穿越fermi能級，從而引起總能計算時的不連續變化。為了避免這種情況，需要引入分數的佔據態smearing。