常係數二階線性齊次微分方程的求解

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這是一類很特殊的方程，前綴有點多，是一類範圍很小的方程，但在物理中經常見到，故單獨拿出來進行討論。

我們先從二階線性微分方程入手， $y+P(x)y+Q(x)y+R(x)=0$ ，若 $R(x)=0$ ，則為二階線性齊次微分方程。進一步地，若係數和 $x$ 無關，都為常數，即為常係數二階線性齊次微分方程 $y+py+qy=0$ .

要求解這個方程，可以先求出它的兩個線性無關的特解，再由解的疊加原理得到通解。

設解的形式為 $y=e^{rx}$ 代入方程即得到 $(r^2+pr+q)e^{rx}=0 Rightarrow r^2+pr+q=0$ .這個等式稱為微分方程的特徵方程，可見特徵方程是一個一元二次代數方程，其解可由求根公式得到。需要分三種情況討論：

1）特徵方程有兩個不等實根 $r_1 ne r_2$

則兩個特解為 $y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}$ ，而 $frac{y_1}{y_2} ne C$ ，故通解為 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ .

2）特徵方程有一對共軛復根 $r_1=a+bi,r_2=a-bi,bne0$

則兩個特解為 $y_1=e^{ax+bxi},y_2=e^{ax-bxi}$ ，由歐拉公式有 $y_1=e^{ax}[cos(bx)+isin(bx)],y_2=e^{ax}[cos(bx)-isin(bx)]$ .

特解含有複數部分，我們希望解是實的，運用解的疊加原理，可以湊出新的兩個特解 $y_{11}=frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos(bx), y_{12}=frac{1}{2}(y_1-y_2)=e^{ax}sin(bx)$ .

它們也線性無關，因此通解為 $y=e^{ax}[C_1cos(bx)+C_2sin(bx)]$ .

3）特徵方程具有兩個相等實根 $r_1=r_2$

只能得到一個特解 $y_1=e^{r_1x}$ .設 $frac{y_2}{y_1}=u(x) Rightarrow y_2=y_1u(x)$ ,代入原微分方程可得到 $u=0$ .不放取 $u=x$ 作為第二個特解。則通解為 $y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$ .

以上結論可以推廣到常係數 $n$ 階線性齊次微分方程。

參考資料

【1】《高等數學》同濟版