極限、無窮小量與函數的連續性

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極限是微積分中非常重要的概念，可以說處於基石的地位。但要比較嚴格地定義極限，卻不算很簡單。歷史上花了很多年才對極限進行了比較嚴格地定義。

除了極限之外，函數也是微積分中的重要概念，在很多定義、定理中會提到函數這個概念。在初學微積分時，函數可以理解為一個映射，從實數到實數的映射。（實際上這只是函數中的一種，即實的、一元的函數）。

高中學過的數列其實可以看成是一種特殊的函數 $f(n),n in N^+$ ，其自變數是正整數。數列的極限理解起來要比函數的極限稍微容易一些，因此很多教材是先從數列的極限開始講起的。

數列的極限，其嚴格的定義又稱為 $N-epsilon$ 定義，表述如下：

對於任意給定的正數 $epsilon >0$ ，存在正整數 $N$ ，使得：當 $n>N$ 時，總有 $|a_n -A| <epsilon$ 成立，其中 $A$ 為常數。

則稱數列 ${ a_n }$ （當 $n rightarrow infty$ 時）的極限為A，記為 $lim_{n rightarrow infty}a_n =A$ .

在定義中， $|a_n-A|$ 即為 $a_n$ 與 $A$ 的距離。那麼 $|a_n -A| <epsilon$ 保證了兩者距離要多小有多小，可以任意小。但有一點需要注意的是，並不是數列中所以的數都滿足以上不等式，而是對於 $n>N$ 的數才會滿足，即數列中位於「後方」的無限個數。前方和後方的界限，即為 $N$ ，這個數是和 $epsilon$ 有關的。

函數的極限比數列的極限要稍微複雜一點，是因為自變數一般是連續而不是離散的。其定義又稱為 $delta- epsilon$ 定義，表述如下：

對於任意給定的正數 $epsilon >0$ ，存在正數 $delta >0$ ，使得：當 $x in (x_0 -delta ,x_0) cup (x_0,x_0+delta)$ 時，總有 $|f(x)-A|<epsilon$ 成立。

則稱函數 $f(x)$ （當 $x rightarrow x_0$ 時）的極限為A，記為 $lim_{x rightarrow x_0}f(x)=A$ .

這時候不是前方和後方的界限了，而是能不能找到這樣的一個去心點鄰域，使得函數值與其極限值的差距要多小有多小。如果能找到，那麼這個函數在這一點上就有極限值。同樣地，這樣的 $delta$ 值也是和 $epsilon$ 有關的。

綜上，無論是數列的極限還是函數的極限，都需要描述自變數的變化趨勢。不過由於數列的極限，自變數只有一種變化趨勢，即 $n rightarrow infty$ ，因此我們經常省略不寫。但函數的極限省略掉lim符號的下標，它的自變數有很多種變化趨勢。

由於給實軸定一個點 $x=x_0$ 後，把實軸分成了兩部分，自變數可以從左邊或右邊趨於 $x_0$ 。由此可以定義出函數的左極限和右極限。（而對於多元函數來說，自變數不再是一維的，而是高維度的，自變數的變化趨勢有更多的自由度。）

由函數的極限定義可知，極限存在的充要條件為左極限和右極限同時存在且相等。

在定義了函數的極限後，如何求出函數的極限是我們需要關心的。其中極限的四則運演算法則是非常有用的。極限的四則運演算法則看似簡單而合理，但它表明了極限運算和加減乘除運算是可以交換的（當分量的極限都存在時）。但要注意，是有限次的加減乘除運算，不能是無限次的。

進一步地，我們抽取出極限值為0和無窮大的函數，作為特例，定義出無窮小量和無窮大量。

無窮小量的定義，表述如下：

若 $lim_{x rightarrow x_0} f(x)=0$ ，則稱 $f(x)$ 為 $x rightarrow x_0$ 時的無窮小量。

運用除法法則，可以比較無窮小量的高階和低階，從而引出高階無窮小量、同階無窮小量、等價無窮小量等。這可以幫助我們方便地求出函數的極限值。

在有了函數極限的定義以及無窮小量的定義後，就能定義出函數的連續性了。函數的連續性指的是當 $triangle x rightarrow 0$ 時，有 $triangle y rightarrow 0$ 。即當自變數為無窮小量時，函數的變化量也為無窮小量。

$triangle x rightarrow 0$ ，又可以表示成 $x=x_0+triangle x ,x rightarrow x_0$

$triangle y rightarrow 0$ ，又可以表示成 $triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0) rightarrow 0$ ，即 $f(x_0+triangle x) rightarrow f(x_0)$

因此若 $lim_{triangle x rightarrow 0}f(x_0+triangle x)=f(x_0)$ 或者 $lim_{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ ，則稱函數 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 處連續。

參考資料

【1】《高等數學》同濟版