採樣定理的推理過程

1..推理儲備

1.1連續周期信號傅里葉變換

首先，我們知道在符合收斂的情況下，任一信號可以由一組無限多種的成諧波關係的復指數信號組成。所以得出：

則是該信號的傅里葉級數，其求解推理過程為：

首先：

兩邊在周期內積分，得：

當時，右邊式子恆為某一餘弦或正弦信號，其在周期內的積分恆為0，所以僅在時，有：

故求得：

我的形象記憶（ps：純屬為了記憶用，跟原理無關）：首先，我會把當成全世界的大家庭，代表一個家庭中的子女()和父母()，把理解為全世界的大家庭由無數個家庭組成。而代表某一家庭的子女失蹤了，全世界的大家庭一起帶領他們的父母去尋找他們的子女。

1.2連續非周期信號傅里葉變換

有了上面的基礎後，我們可以把連續非周期信號當成時的周期信號，此時。

令，可得該傅里葉變換為：

從而可得傅里葉逆變換為：

1.3連續非周期信號傅里葉變換連續周期信號傅里葉變換

首先，對比兩者的逆變換：

非周期：

周期：

注意兩條公式，當兩者可以進行轉換時，得出與的關係：

上述是周期信號傅里葉級數和其頻譜間的轉換！

1.4連續時間傅里葉變換的相乘性質

時域內的卷積對應於頻域內的相乘，由於時域和頻域有對偶關係，故時域內的相乘應該對應於頻域內的卷積！

故可得：

有了以上基礎，接下來就可以對採樣定理進行推理了。

2.採樣定理

當我們對連續信號進行理想抽樣時，抽樣信號為：

假設、分別是、的傅里葉變換，由1.4小節所述，可得抽樣信號的傅里葉變換為：

可化簡為：

現在讓我們先緩一緩，求解一下的傅里葉變換！

因為是周期信號，如果要求它的頻譜，首先得把它的傅里葉級數求得，然後根據1.3小節所述的關係式再求出。

首先，求出：

將帶入1.3小節所述的關係式，可得：

一個信號與一個單位衝激函數的卷積就是該信號的移位，因此，可得：

即可推理出:採樣信號的頻譜等同於原信號的頻譜進行周期延拓！

總結：

整個過程可以概括為，求出的傅里葉級數後，求出衝激串的頻譜，原信號與衝激串兩者頻譜進行卷積，便得到抽樣信號的頻譜！可以概括為兩步：求衝激串頻譜，與原信號卷積！