菜花有幾維？

問題也很簡單：菜花是幾維的？

回答三維的可能要改改想法了，因為花椰菜具有一個很特殊的結構——分形。

所謂分形，其首要特點就是自我相似性，整體與部分同構。我們考慮一條線段，把它三等分，然後中間一段去掉，換成兩段等長夾角60度的線段，然後迭代這個過程就可以得到一個簡單的分形——Koch Curve。如下：

多迭代幾次後

研究分形的人從分形的形成過程給出了另一種維度的定義，那就是通過邊切割。從我們最熟悉的場景看，一條線段中間切割變成兩段而這兩段長度變成了一半；如果是正方形，從每條邊的一半進行切割，那麼會形成四個小正方形；如果是立方體，還是每條邊一半切割，那會形成八個小立方體。再高的維度我們先不考慮，不知道你發現了什麼沒有，每條邊都是按照一半進行切割形成M等份，而得到的新物體的個數N都是M的D次冪，D是我們傳統意義上的維度。

那麼好，我們寫下這個過程 N = M^D ，稍微調整下，可以得到 D = logN／logM。這就是分形意義上的維度。

回頭再看Koch Curve，每一次的迭代形成4個新線段，切割為3等份，那麼其分形維度為 log4/log3，大概是1.26，也就是對於一個成長的分形，其維度不見得是整數。這個維度叫做Hausdorff 維度

那麼菜花的分形怎麼搞，去數菜花的分支與長度？額，可以，不過還有其他更方便的方法。我們考慮一個更實際的分形——海岸線

海岸線是不好測量的，原因很簡單，你尺子精度不同得到的結果是不一樣的，基本你把尺子縮小一半，海岸線就得長處一大截，這道構成了另一層意義上的「測不準原理」：

海岸線的實際長度不取決於其真實長度而是取決於你尺子的精度。

其實海岸線可以看作一個具有類似分形結構的線，其維度高於一，所以你用低維度的度量衡去測量高緯度自然怎麼都測不出來，那麼問題來了，長度我測不了，維度又怎麼測？

還記得「測不準原理」嗎？沒錯，就用這貨。我首先用一把粗略的尺子去測量得到一個以尺子長度個數為單位的長度，然後不斷收縮尺子的長度得到新長度，不就相當於逆向重構了分形生成的過程了嗎？那麼前面Hausdorff的維度還是可以近似推出來的，而這種近似求維度的方法求到的維度叫做 Box-Counting 維度，公式為：

log[總長度尺子數] = D log[1/尺子的長度]

變換不同尺子的長度我們可以得到一組尺子數，回歸求斜率就知道海岸線的維度了。例如測量英國海岸線，按照上述方法（有所改動，不是用的尺子，而是小方盒）可以得到維度為1.25維。

好了，終於到菜花了，菜花可不是兩維的，又如何測量？

Sang-Hoon Kim的這篇文章簡單明了計算了菜花的維度，那麼他是如何從二維走向三維的呢？還是分形，我對一個立方體做橫切觀察斷面，那麼很自然斷面的維度跟立方體比例是2/3，我對菜花橫切，計算出斷面維度後直接除二乘三就可以了。理論上我應該切無數刀取均值，但近似認為每一刀都是獨立且期望一致就OK了。於是作者就開始了偉大的切菜花工程，最後發現，菜花的橫切面維度大概是1.88維，而菜花本體大概是2.8維的。測完後意猶未盡又搞了一把建模：

這個結論還是很可以開腦洞的，例如一個三維世界的客體其實維度並不到三，我們用具有分形結構的客體是無法填充一個三維空間的，其延伸過程存在邊界，邊界層接觸面積近乎無窮大。根據計算人腦皮層表面的維度大概也有2.8，而肺的表面也有2.97維，當我們把一張紙握成一個球時，其分形維度為2.5…看來曲率飛船還是有希望做出來的，或者說，已經被做出來很多次了。

好了，我的真實目的已經暴露了：面對一個2.8維的菜花，如何炒才能讓其各部分均勻受熱不至於前面熟了後面不熟？局部勾芡填充2.8維可能是一個思路，但效果不好，或許可以開創一個面向吃貨的學科分支：分形熱傳遞工程...

參考文獻

http://each.uspnet.usp.br/sistcomplexos/SC1/Fractal/Brocoli.pdf

List of fractals by Hausdorff dimension

圖片來自論文與維基百科