陽光長跑——為什麼不刷那台機器？

（一）提出問題

同學們肯定吐槽過學校的陽光長跑計劃——今天討論的就是陽光長跑中的刷卡問題。

陽光長跑要求學生在起點、中途、終點在機器前各刷一次學生卡。由於人多機器少，因此同學們總會在機器前排隊。

一天在紫操跑步刷卡的時候，我發現了一個有意思的現象——在某幾台（每次不同）刷卡機前面，同學們排起了長隊，與此同時旁邊距離不遠的刷卡機卻無人問津。出於好奇，我試了一下，發現那些沒人去刷的機器有的可以刷卡，有的則是黑屏故障。

為什麼同學們集體選擇僅僅某幾台排隊？這樣豈不是浪費時間？為何不試試其它刷卡機呢？這樣的結果是合意的嗎？

（二）模型構建

模型假定有兩種方式進行刷卡：跟著大家排長隊，或者自己去嘗試新的刷卡機。

我們假定每一位同學都是理性人。他會進行邊際量分析來確定站哪個隊、是否嘗試新的刷卡機，以期達到最大的收益。正在排隊的機器一定是正常機器，而無人刷卡的機器有可能有故障，理性人在刷卡問題上面臨權衡取捨。

排隊刷卡的收益是如何確定的呢？收益來自鍛煉身體的愉悅和成就感。顯然，排隊的人越多，等待的時間越長，收益就越小。我們設無人排隊而去刷卡時，收益最大，為R0。設隊伍人數為n，前面每多1個同學，收益減少a。因為陽光長跑有規定的時間，某些偷懶的同學希望借排隊把跑步的時間「水」過去，因此每多1個人，能夠獲益b（b<a）。所以對於這些同學，前面每多1個人，收益減少（a-b）。

而嘗試新的刷卡機的收益呢？新的機器可能存在故障（也許是因為它們是隔壁北大造的）。我們設機器正常的概率為p，若機器正常則收益為R0，機器故障則收益為0，由於嘗試新機器需要走過去，加之理性人厭惡風險，這種嘗試還有固定成本（設為c）

（三）模型分析

① 我們先考慮沒有偷懶者的情況——根據模型

跟隨排隊的收益為 R1=R0-a*n，是一個隨n遞減的函數。

嘗試新刷卡機的收益為 R2=p*R0-c，與n無直接關係。

畫出兩種方式的收益曲線進行邊際分析。

1) 臨界排隊人數為n0，計算得出n0=（R0（1-p）+c）/a。此時跟隨排隊和嘗試新機器的收益是相同的。

2) 當排隊人數較少，n1<n0時，同學只會選擇跟隨排隊，不值得冒險試新的機器。

3) 當排隊人數較多，n2>n0時，同學會寧願嘗試刷新的機器。事實上，從第n0+1個人開始，同學們就開始選擇嘗試新機器。因此當人數較多時，每支隊伍的均衡人數均是n0

② 我們考慮偷懶者的情況——根據模型

跟隨排隊的收益變為 R3=R0-(a-b)*n，是一個隨n遞減的函數，但斜率比①小。

嘗試新刷卡機的收益為 R2=p*R0-c，仍與n無直接關係。

畫出兩種方式的收益曲線進行邊際分析。

1) 類似地，由於曲線變化，臨界排隊人數增加至n0』，計算得出

n0』=（R0（1-p）+c）/（a-b）。此時跟隨排隊和嘗試新機器的收益是相同的。

2) 當n1<n0』時，同學只會選擇跟隨排隊。

3) 當n2>n0』時，同學會嘗試刷新的機器，每支隊伍的均衡人數均是n0』，隊伍因為偷懶者的出現而變長，這也是我們觀察到的現象。

③當刷卡人數非常多時——

有很多同學都去嘗試新的機器。因此在新機器中，正常機器前會逐漸排上隊，變為之前類似需要排隊的機器。剩下無人刷卡的機器是故障機器的可能性增加，即p會減小，R2會減小至接近0（甚至為負）。同學們唯一的選擇就是老老實實排隊刷卡。

最後當然還有一點，心理學證明，人有一定非理性的從眾心理。同學們也很可能不假思索地跟從別的同學排長隊。

綜合以上，n0』=（R0（1-p）+c）/（a-b）

想要使陽光長跑的刷卡隊伍人數n0』減短，可以：

1. 提高p，即採購質量更好的刷卡機；

2. 減小c，即在場體育老師應引導鼓勵同學們試試別的新機器；

3. 降低b，即同學們跑步應當少偷懶；

4. 可以在其他地點鍛煉，同學們不必都集中在紫操上刷卡。

（四）小結

分析過程中，我們運用了理性人、風險厭惡、均衡等等概念建立模型。得到的結論是否違背我們的經濟學直覺呢？若是隊伍很短就寧願排隊，排隊的人多了就更願意試試別的機器。這也正是大多數同學的做法。

PS：這種模型實際上也可以應用到傳統行業的科技創新機制上。企業面臨「無風險、低利潤的常規模式」和「高風險、高利潤創新模式」的權衡取捨。其結論應當與陽光長跑排隊的均衡非常類似。

(Picture Credit: Visualhunt (CC0 Public Domain))

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