基於光與物質間角動量交換的光力學

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1 摘要與簡介

光力學主要關注的是光和力學各自由度之間的相互作用。作者這篇綜述著重於介紹基於角動量交換的光力學系統：光場攜帶的自旋角動量（偏振）和軌道角動量與物質扭動、轉動之間的關係。

2 諧振腔光力學

在這一部分，作者對於腔光力學做了一個簡潔的介紹。

2.1 諧振子的二次量子化

假設有一個質量為 $[m]$ 的諧振子正以角速度 $[{omega _m}]$ 振動，那麼對應的經典哈密頓量是 $[H = frac{{{p^2}}}{{2m}} + frac{1}{2}momega _m^2{q^2}]$

其中 $[p]$ ， $[q]$ 是諧振子的動量和位移。如果我們考慮到這個諧振子是一個量子系統，那麼 $[p]$ 和 $[q]$ 必須滿足對易關係

$[left[ {q,p} right] = ihbar ]$

那麼，由於任何一個力學算符的演化都滿足海森堡公式

$[dot O = frac{i}{hbar }left[ {H,O} right] + frac{{partial O}}{{partial t}}]$

那麼對於上述諧振子，我們就有

$[dot q = frac{i}{hbar }left[ {H,q} right] = frac{p}{m}]$

$[dot p = frac{i}{hbar }left[ {H,p} right] = - momega _m^2q]$

在現實的例子，尤其是光力學的設置中，必須要充分地考慮到振子與環境的耦合，比如阻尼、漲落。考慮這些因素的過程是十分複雜的，我們幸運地得到了描述振子的郎之萬方程

$[dot q = frac{p}{m}]$

$[dot p = - momega _m^2q - {gamma _m}p + xi ]$

其中 $[{gamma _m}]$ 是阻尼比， $[xi ]$ 是布朗隨機力，它的平均值為0，且滿足如下方程

$[leftlangle {xi left( t right)xi left( {t} right)} rightrangle = frac{{{gamma _m}}}{{{omega _m}}}int {frac{{domega }}{{2pi }}{e^{ - iomega left( {t - t} right)}}omega left[ {coth left( {frac{{hbar omega }}{{{k_B}T}}} right) + 1} right]} ]$

我們處理的系統溫度較高，普遍滿足 $[{k_B}T gg hbar omega ]$ ，則有

$[leftlangle {xi left( t right)xi left( {t} right)} rightrangle = frac{{2{gamma _m}{k_B}T}}{{hbar {omega _m}}}delta left( {t - t} right)]$

研究 $[p]$ ， $[q]$ 是方便的，因為可以在我們需要的時候取經典極限。如果我們用上產生湮滅算符，即

$[q = {q_0}left( {{b^dag } + b} right)]$ ， $[p = i{p_0}left( {{b^dag } - b} right)]$

其中，

$[{q_0} = sqrt {frac{hbar }{{2m{omega _m}}}} ]$ ， $[{p_0} = sqrt {frac{{mhbar {omega _m}}}{2}} ]$

我們可以將哈密頓量表示為

$[H = h{omega _m}{b^dag }b]$

這裡我們從哈密頓中減掉了一個常數 $[{{h{omega _m}} mathord{left/n {vphantom {{h{omega _m}} 2}} right.n kern-nulldelimiterspace} 2}]$ ，這是諧振子的基態能量，不會產生動力學效應。由於 $[{b^dag }b]$ 物理上對應了有多少份能量 $[h{omega _m}]$ ，我們也稱 $[{b^dag }b]$ 為數量算符。通過上述表達式我們可以計算 $[b]$ 和 $[{b^dag }]$ 的對易關係，

$[left[ {b,{b^dag }} right] = 1]$

2.2 電磁場的腔量子化

我們考慮一個具有確定頻率 $[omega {}_0]$ 的電磁波。為了使得腔中只有單一的模式，我們採用一個方便的系統：兩面理想反射鏡對置，也就是一個法布里-帕羅腔。

經典的電磁場哈密頓量為

$[H = frac{1}{2}int {dVleft[ {{varepsilon _0}{E^2} + frac{{{B^2}}}{{{mu _0}}}} right]} ]$

其中 $[E]$ 和 $[B]$ 分別是電場強度和磁感應強度，積分區域是整個腔體，兩面鏡子距離 $[L]$ 。

滿足邊界條件的量子化電磁場可以寫成以下形式

$[{E_x}left( {z,t} right) = {E_0}left( {{a^dag } + a} right)sin kz]$

$[{B_y}left( {z,t} right) = i{B_0}left( {{a^dag } - a} right)cos kz]$

其中

$[{E_0} = sqrt {frac{{hbar {omega _0}}}{{{varepsilon _0}V}}} ]$

$[{B_0} = frac{{{mu _0}}}{k}sqrt {frac{{{varepsilon _0}hbar omega _0^3}}{V}} ]$

波數 $[k = frac{{{omega _0}}}{c}]$ ，那麼就有

$[kL = frac{{{omega _0}}}{c}L = npi ]$

這樣電磁場的哈密頓量我們就可以寫作

$[{H_0} = hbar {omega _0}{a^dag }a]$

$[a]$ 和 $[{a^dag }]$ 是光子的湮滅、產生算符，它們也滿足

$[left[ {a,{a^dag }} right] = 1]$

在現實的例子中，法布里帕羅腔中的鏡子並不可能是理想的反射鏡。事實上，光子的透射是一定存在的，所以也會有光子補充進來（主要是從激光處來）。那麼考慮到如上兩個效應的話，哈密頓量可以寫作

$[{H_0} = hbar {omega _0}{a^dag }a + ihbar Fleft( {{a^dag }{e^{ - i{omega _l}t}} - a{e^{i{omega _l}t}}} right)]$

其中 $[{{omega _l}}]$ 是驅動激光的頻率， $[F]$ 是一個與激光功率有關的量，即 $[F = sqrt {frac{{P{gamma _0}}}{{hbar {omega _0}}}} ]$

$[{{gamma _0}}]$ 是光子逸出腔的速率。有了這些信息，我們可以用海森堡方程寫出 $[a]$ 的動力學演化，即

$[dot a = frac{i}{hbar }left[ {H,a} right] + frac{{partial a}}{{partial t}} = frac{i}{hbar }left( {left[ {hbar {omega _0}{a^dag }a,a} right] + left[ {ihbar F{a^dag }{e^{ - i{omega _l}t}},a} right]} right) = frac{i}{hbar }left( {hbar {omega _0}left[ {{a^dag }a,a} right] + ihbar F{e^{ - i{omega _l}t}}left[ {{a^dag },a} right]} right) = - i{omega _0}a + F{e^{ - i{omega _l}t}}]$

我們對上式進行換元（對應物理上變換參考系），令 $[a to a{e^{i{omega _l}t}}]$ ，則有

$[dot a = dot a{e^{i{omega _l}t}} + ai{omega _l}{e^{i{omega _l}t}} = left( { - i{omega _0}a + F{e^{ - i{omega _l}t}}} right){e^{i{omega _l}t}} + ai{omega _l}{e^{i{omega _l}t}} = - ileft( {{omega _0} - {omega _l}} right)a + F]$

如果我們記失諧 $[{Delta _0} = {omega _0} - {omega _l}]$ ，就有

$[dot a = - i{Delta _0}a + F]$

如果我們因為反射鏡的透過係數導致的雜訊和損耗考慮進去，我們也會得到類似於郎之萬方程的時間演化

$[dot a = - i{Delta _0}a + F - frac{{{gamma _0}}}{2}a + sqrt {{gamma _0}} {a_{in}}]$

${a_{in}}$ 是通過入射鏡面進入的電磁雜訊，同樣平均值為0，有關係

$[leftlangle {{a_{in}}left( t right)a_{in}^dag left( {t} right)} rightrangle = delta left( {t - t} right)]$

2.3 光力學腔

下面我們考查這樣一個模型：一個法布里帕羅腔，一面鏡子固定，而另一面鏡子可以在其平衡位置附近（沿腔的軸線）做簡諧振動（比如可以將這一面鏡子連接在一個彈簧上）。我們下面用半經典的方法推導這一系統的哈密頓量。一個嚴格的量子力學的推導可以參見[94]。首先，如果彈簧的機械振動頻率遠遠小於諧振腔的相鄰兩個諧振頻率之差，那麼我們就可以只考慮一個腔模。我們先假設兩面鏡子是完美全反射的，這樣一個光子在反射前後的動量變化就是 $2hbar k$ 。而單位時間一個光子會碰撞某一面鏡子 $2L/c$ 次，那麼單光子給這面鏡子的受力為 $[hbar g = frac{{2hbar k}}{{2L/c}}]$

其中的常數 $[g]$ 是我們常用的單光子耦合常數。

那麼當腔的長度從 $L$ 變到 $L+q$ 時，我們有振子對腔內光場做功為（單光子受力*光子個數*位移）

$[{H_{{mathop{rm int}} }} = - hbar g{a^dag }aq]$

那麼系統的總能量我們就可以寫為（諧振子能量+光場原來的能量+光場能量變化+驅動部分）

$[{H_{OM}} = hbar {omega _m}{b^dag }b + hbar {omega _0}{a^dag }a - hbar g{a^dag }aleft( {{b^dag } + b} right) + ihbar Fleft( {{a^dag }{e^{ - i{omega _l}t}} - a{e^{i{omega _l}t}}} right)]$ $[g = {q_0}g]$

其中 $[g = {q_0}g]$ 。我們希望讓哈密頓量不含時，這時我們可以換到相互作用表象（或者說是進行了坐標系旋轉），有酉變換 $[U = {e^{i{omega _l}{a^dag }at}}]$ ，那麼在這個表象下哈密頓量 $[{H_{OM}}]$ 應該變作

$[{H_{OM}} = U{H_{OM}}{U^dag } - ihbar Ufrac{{partial {U^dag }}}{{partial t}}]$

也就是

$[{{H}_{OM}} = hbar {omega _m}{b^dag }b + hbar {Delta _0}{a^dag }a - hbar g{a^dag }aleft( {{b^dag } + b} right) + ihbar Fleft( {{a^dag } - a} right)]$

那麼我們寫出對應的振子、腔模的海森堡方程（在這個表象下）

$[dot q = frac{p}{m}]$

$[dot p = - momega _m^2q - {gamma _m}p + xi ]$

$[dot a = - left( {i{Delta _0} + frac{{{gamma _0}}}{2}} right)a + igaq + F + sqrt {{gamma _0}} {a_{in}}]$

2.4 光力學感測和對運動模式的冷卻

和光力學腔相關的物理有很多，作者這裡只簡單介紹了腔作為位移感測和對運動模式進行冷卻，相關的其他內容可以參見其他參考文獻。

位置感測基於一個事實，就是光子的相位會因為其運動的距離不同而改變。另外地，從海森堡方程 $[dot a = - left( {i{Delta _0} + frac{{{gamma _0}}}{2}} right)a + igaq + F + sqrt {{gamma _0}} {a_{in}}]$ 我們也可以知道 $a$ 是隨著位移 $q$ 變化的。下面我們考慮一種所謂「壞腔」極限，也就是 $gamma _0$ 很大，光子逸出地很快。在這種情況下，腔模可以根據振子的瞬時位置進行很快的調整。也就是如果振子的變化較慢，腔模的變化率也較小，我們可以認為 $[dot a = 0]$ （絕熱消去腔模）。則有

$[a = frac{F}{{frac{{{gamma _0}}}{2} + ileft( {{Delta _0} - gq} right)}}]$

如果我們令失諧 $[{Delta _0} = 0]$ ，並且把上式寫成指數形式就有

$[a = frac{F}{{{{left[ {{{left( {frac{{{gamma _0}}}{2}} right)}^2} + {{left( {gq} right)}^2}} right]}^{{1 mathord{left/n {vphantom {1 2}} right.n kern-nulldelimiterspace} 2}}}}}{e^{i{{tan }^{ - 1}}left( { - frac{{gq}}{{{{{gamma _0}} mathord{left/n {vphantom {{{gamma _0}} 2}} right.n kern-nulldelimiterspace} 2}}}} right)}}]$

我們可以看到位移 $q$ 的信息同時被包含在了模和輻角之中。尤其是當 $[{{g} mathord{left/n {vphantom {{g} {{gamma _0}}}} right.n kern-nulldelimiterspace} {{gamma _0}}}]$ 很大時（這和壞腔極限並不矛盾），相位對於位移是很敏感的。這一原理被應用於LIGO中探測引力波造成的微小位移。

光學冷卻是腔光力學的另外一個應用。忽略耗散、噪音和驅動作為簡化，哈密頓量可以寫為

$[{H_{OM}} = hbar {omega _m}{b^dag }b + hbar {Delta _0}{a^dag }a - hbar g{a^dag }aleft( {{b^dag } + b} right)]$

正比於 $[{a^dag }a{b^dag }]$ 的一項就對應了冷卻機械運動，因為這一項描述了這樣一個過程：一個聲子和一個光子湮滅，一個光子產生。由於能量守恆，第二個光子的能量必須比第一個光子高 $[hbar {omega _m}]$ 。這種過程之所以被允許，是因為光子們屬於一個quasi-mode且有一定的展寬，不要求每一個光子的頻率都是嚴格相等。由於一個聲子被湮滅了，所以機械模式被冷卻了。同樣的，正比於 $[{a^dag }a{b }]$ 的一項就對應了加熱機械運動。值得注意的是，當 $[{Delta _0} > 0]$ ，冷卻比起加熱來佔優勢，以此可以將一個機械振子冷卻到它的基態。（具體可參見[14]）

3 攜帶角動量的光束

在這一部分，作者簡單的介紹了攜帶角動量的光束。眾所周知，光子具有 $[ pm hbar ]$ 的自旋角動量，與我們經典中的偏振所對應。這是光束攜帶角動量的一種方法。另一種方法就是給光束的相位部分設計合適的結構。每一個光子可以被看作攜帶著軌道角動量，並且原則上講這個角動量可以無限制地大（實驗中可以做到很大）。徹底區分開軌道角動量和自旋角動量可能是個比較困難的任務，但不妨假設它們已經被分開了，並且下面我們只研究激光的傍軸性質。

3.1 產生攜帶軌道角動量的光束

產生這種光束的途徑有很多，這裡作者著重闡述一種「螺旋相位盤」（不知道該怎麼翻譯）的方法。我們先考慮一種簡單的情況，就是光通過一個均勻的，厚度為 $L$ 的盤。那麼，如果入射的平面波振幅為 $E_0$ ，那麼出射的光場就是 $[{E_0}{e^{ikL}}]$ ， $[{E_0}]$ 是出射的振幅， $k$ 是波的波數。那麼相位就取決於盤的厚度。

當光通過一個螺旋相位盤，這個盤的厚度在角向有均勻的梯度，那麼不同的方位角就具有不同的相位，有出射光場為 $[{E_0}{e^{i{{tphi } mathord{left/n {vphantom {{tphi } lambda }} right.n kern-nulldelimiterspace} lambda }}}]$ ，其中 $t$ 是螺旋的螺距（其實這個片只有一個螺旋，所以螺距也就是最大處的厚度）。那麼這束光中的每個光子經過這個盤之後就有了 $[hbar l]$ 的角動量（這一點可以通過精確計算電磁場的角動量得到，參見[47]）。我們希望 $l$ 是個整數，否則某個光子就可能處於疊加態。

3.2 拉蓋爾-高斯激光

一個攜帶軌道角動量的場可以表示為 $[Eleft( r right) = uleft( r right){e^{ilphi }}]$ ， $r$ 是到軸線的距離。不同的激光種類對應著不同的 $[uleft( r right)]$ 分布。作者這裡介紹的拉蓋爾-高斯激光的 $[uleft( r right)]$ 如下所示 $[{u_{lp}}left( r right) = frac{{{C_{lp}}}}{{sqrt {wleft( z right)} }}{left[ {frac{{rho sqrt 2 }}{{wleft( z right)}}} right]^{left| l right|}}{e^{ - frac{{{rho ^2}}}{{{w^2}left( z right)}}}}L_p^{left| l right|} times left[ {frac{{2{rho ^2}}}{{{w^2}left( z right)}}} right]{e^{ - frac{{ik{rho ^2}z}}{{2left( {z_R^2 + {z^2}} right)}}}}{e^{ilphi }}{e^{ileft( {2p + left| l right| + 1} right){{tan }^{ - 1}}left( {frac{z}{{{z_R}}}} right)}}]$

好叭，別問我為什麼這麼複雜，仔細看看……裡面還潛藏了聯合拉蓋爾多項式……

這種激光最特別的一點是當 $l$ 不為0時，激光的中心是一個暗點。下面是三幅示意圖。

待續