歐式股票期權看漲看跌期權的價格下限怎麼證明？

假設S。為股票當前價格，，C為買入一隻股票的歐式看漲期權價格，P為買入一隻股票的歐式看跌價格，K為期權行使價格，r為無風險投資利率，t為期權期限

那麼，

S。-ke^(-rt)&<=C&<=S。 和 ke^(-rt)-S。&<=P&<=k 是這麼得到了

在備考FRM,由於時間緊迫所以直接跳過core reading和handbook看notes，但是看到書上的結論時還是忍不住停下來思考了一下。正好看到這一題就來答一下。

下面我假設你所說的是標的股票無利息分配的歐式期權。

首先來看一下看漲期權，the price of the call option: c，又叫the call premium。這個名稱揭示了期權最初就是給現貨上的一項保險。按照你的直覺，保險是不會給人帶來額外盈利的，無套利理論也是現代金融定價中常見的基本假設。

先看價格上限：

這是因為看漲期權的可能收益來自於underlying asset的價格上漲，猜對價格方向時你可以在衍生品上得到利潤，利潤為 如果期初的期權價格過高，高到了與期初現貨價格相同，那麼我用買期權的資金完全可以購買現貨，如果價格真的上漲，那麼我在現貨上的獲利與在期權上的獲利相當，如果價格下跌，那麼價格非負的現貨變現能給我帶來的現金流一定不差於期權。所以當時，購買現貨是佔優於購買期權的，如果這個價格再被突破，那麼賣期權買現貨就成為了一個套利選擇。

再來看價格下限:

用相同的思路。首先我們知道期權是一項權利，所以其價格非負。其次，不能提前行權的歐式期權可以確定性地討論它在不同情況下的價值。我們假設歐式看漲期權期初價格真的是

，我將它放在無風險市場上進行複利，到期末時現金的FV就是X，我們用這X的現金去行權，購買一份現貨將期初賣出的現貨對衝掉。你看，這一來一回的交易恰好全部沖抵，所以這個下限恰好是無套利的一個臨界點，相信你已經知道如果價格低於這個臨界點，我們就該大舉買入期權賣出現貨進行套利了。

當然，上面說的情形是在流通性完全，沒有交易費用，沒有市場摩擦的理想狀態下，現實情況遠比書上的公式複雜。

拿call option舉例：

call option多頭的不虧損條件是在t1時刻，滿足St-X&>=c，就不會虧損，因此c真正的上限應該是St。

樓上提出上限是S0，這是不對的。當c&>S0，只要滿足上式則仍可盈利，只是盈利小於直接購入股票，所以call option仍有意義。

我的老師給的call和put的價格上限表達式是Max (St, X)，我個人的理解是，對於call option，如果St&