GPA膨脹： 為什麼約束平均分是比限制A等人數更好的選擇

當我看到我的英語課成績是3.3時，我絲毫不感到意外——事實上，調查（圖1）顯示，超過50%的同學得分都是3.3，換句話說，大家的得分幾乎都一樣。在既定規則下，將多數人的分打得儘可能地高，這就是GPA膨脹的一個表現。這種對成績的混淆，帶來巨大的資源配置成本。

註：此處選取樣本為選擇2-4近現代史課堂的同學，可以視為對全體五字班樣本一個理想的隨機抽樣。

正如通貨膨脹一樣，GPA膨脹的發生不可避免。我把經濟學第十大原理改成這樣的表述：

（1）學校面臨著GPA膨脹與學生出路之間的短期權衡取捨；

（2）老師面臨著GPA膨脹與沒人選課之間的短期權衡取捨。

對於學校而言，短期未預期的GPA膨脹確實會讓企業和其他學校誤認為這一批學生能力更強而給予優待，但在長期仍會趨於真實狀況，GPA的過度膨脹也會損害學校聲譽，因此長遠考慮的學校必須用規則限制它。在清華大學，這個規定是超過90分（3.7）的人數不超過20%，導致成績普遍是僅次於它的3.3。我試圖用一個模型來說明規定平均分不高於某一數字很可能是更好的選擇。

假設老師充分負責任，給出的成績永遠會完美反映學生間水平的相對關係，也即他的打分將會是學生水平的一個線性變換（假設1）。我們可以用這樣的式子（不是短期總供給曲線！）表示他的給分（圖2）：

是最終分數；右邊是基準分數，是分數差異係數，這兩項都由老師確定；是每個學生的實際水平（可以理解成卷面分之類），是其中位數，所以分數將由學生相比中位學生的差距給出。不難發現與為一次關係，且就是中位學生的得分。

具體地，學生對分數的評價將由中值選民定理決定。考慮老師轉換到一個新的打分模式，則分數變化量的中位數必須大於0，才得到一個使更多學生滿意的給分。考慮到分數變化量是實際水平的一次函數，這位「中值選民」指的就是水平為中位數的學生。我們假設老師的另一目的是讓較多學生滿意（假設3），那麼他只需要提高中位學生的得分。

對於現在的規則（圖3），20%位置學生的得分

相反，如果我們限制平均分

（假設4B）

根據規律（表1）顯示，在大多數情況下成立，因此如果試圖提高必須增大（圖4）。根據上面的分析，這是更好的結果。

註：對於只知道區間人數的數據，以得分均為0.5倍數的前提，假設區間內每一得分人數均等計算排名。

拋去公式直觀地看，如果老師把超過一半學生分數上升作為唯一標準，在限制90分人數時，最終的結果將會是所有人得到89分，這是荒謬的（雖然這正是現在英語課的趨勢）；而限制平均分時，斜率卻不會無限增大，因為老師一般不敢掛人——這會導致極端負面的評價，不再是一人一票將使中值選民定理失效。因此，後一種限制可以帶來一個相對穩定的打分體系。

綜上所述，老師總可能有盡量提高分數中位數，也即放任GPA膨脹產生的激勵。學校設立上限規則來避免它是必要的，在這裡對平均分作限制而不是限制優秀範圍內人數將帶來更穩定也更具有區分性的分數分布，因此可能是一個更好的選擇。

(Picture Source: Pixabay(Public Domain))

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