傾向得分方法的雙重穩健且有效的改進

在政策評價中經常使用傾向得分的方法計算平均處理效應（ATE），其中Inverse probability of treatment weighting (IPTW) 方法是非常常用的方法之一。如果觀察到數據(Ti, Yi, Xi)，其中Ti為處理變數，Yi為結果變數，Xi為處理之前的個體特徵，且處理的過程滿足強可忽略性的假設：

那麼IPTW的方法可以通過：

進行計算。

然而在實證中發現，這個方法雖然簡單易行，但是對於傾向得分（propensity score）的設定非常敏感。為了解決這個問題，學者們提出了一些方法使得IPTW變的穩健，其中協變數平衡的傾向得分（Covariate Balancing Propensity Score, CBPS）被發現在實證中表現的非常好。這個方法通過設定傾向得分的函數形式，通過解方程：

得到傾向得分中β的估計，其中f為需要平衡的X的一些函數。一般f取X的一階項，也有時會取二階項進行計算。如果取一階項，這個方法保證了經過傾向得分加權之後，處理組和對照組有相同的樣本均值。

然而，雖然以上方法表現比較穩健，在實證中究竟該如何選擇f(X)仍然在理論上沒有很好的解答，此外當π的錯誤設定對結果有何影響也沒有充分的討論。

Jianqing Fan, Kosuke Imai, Han Liu, Yang Ning and Xiaolin Yang 等人的文章《Improving Covariate Balancing Propensity Score:nA Doubly Robust and Efficient Approach》對CBPS方法進行了更加深入的討論，並在此基礎上提出了一個雙重穩健且漸進有效的方法（iCBPS）。

首先，作者計算了CBPS方法的bias。如果π的方程形式錯誤設定：

而β的估計值收斂到：

CBPS方法可以保證：

而通過作者的計算，IPTW的bias為：

其中K和L的定義為：

因而，如果f滿足：

那麼不管π如何錯誤設定，CBPS方法都可以矯正bias。

進而，作者更進一步將以上的bias分解為：

作者提出，只要將以上兩項分別降為0，那麼估計量的bias就可以降為0。因而作者提出可以通過改進的CBPS方法：

將以上兩個方程同時最小化（解方程）即可得到一個ATE的無偏估計量。

更進一步，作者指出，以下條件只要有一個成立：

1. 傾向得分模型正確設定
2. K(·)和L(·)分別在h1和h2所張成的線性空間中

那麼，通過iCBPS方法計算的IPTW估計量就是ATE的一致估計量，因而是「雙重穩健的」。

這裡h1代表擬合K(·)的基函數，而h2代表擬合L(·)的基函數，因而實證中可以選取X的一次項、二次項等多項式基函數擬合K和L函數，將β的維數適當擴大到h1的維數+h2的維數即可。此外，針對傾向得分的錯誤設定問題，作者提出可以使用sieve logit的半參數方法解決，這裡不再贅述。

IPTW是處理效應中雖然比較古老但是非常常用的方法。然而簡單實用IPTW會有不穩健的問題，本文的方法實現並不複雜，是做處理效應實證的又一利器。

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