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傅立葉級數與傅立葉積分

02-01

若一周期函數 $f(x)$ 滿足 $f(x)=f(x+2l)$ ，則將其展開成一系列不同周期三角函數之和。

由駐波條件

$n lambda =2l , nin N^+$

$lambda = frac{2 pi}{k}$

可得k為一系列離散值

$k=frac{n pi}{l}, n in N^+$

那麼得到三角函數族

1（n=0的特殊情況）， $cos kx = cos frac{n pi x}{l}$ ， $sin kx =sin frac{n pi x}{l}$

那麼周期函數 $f(x)$ 可以展成

$f(x)=a_0 + sum_{k=1}^ infty a_k cos frac{k pi x}{l} +b_k sin frac{k pi x}{l}$

可以驗證這組基函數是正交完備的。

那麼，一個周期函數就被我們展成一系列三角函數了。而三角函數是我們比較熟悉的函數，它的形態、性質我們都比較清楚。因此傅立葉級數為我們搭建了一座橋樑，連接了任意的周期函數與三角函數。我們可以藉由三角函數的性質，來了解此周期函數的性質。

下面需要求出待定係數，將上式兩邊同時乘以1， $cos frac{p pi x}{l}$ ，或 $sin frac{p pi x}{l}$ ，在 $(-l,l)$ 上積分，結合基函數的正交性可以求得待定係數

$a_0=frac{1}{2l}int^l_{-l}f(xi) d xi$

$a_k=frac{1}{l}int^l_{-l}f(xi) cos frac{k pi xi}{l}d xi$

$b_k=frac{1}{l}int^l_{-l}f(xi) sin frac{k pi xi}{l}d xi$

進一步地，有時候將其寫成複數形式會便於運算，複數形式的傅立葉級數

$f(x)=sum_{k=-infty}^{infty}c_k e^{i frac{k pi x}{l}}$

係數 $c_k = frac{1}{2l} int_{-l}^l f(xi)(e^{i frac{k pi xi}{l}})^* d xi$

需要注意的一點是，雖然 $f(x)$ 為實變函數，但係數 $c_k$ 可以為複數，且有

$c_{-k}=c_k^*$

傅立葉級數收斂是有條件的，稱為狄利希利條件（連續，有限極值點，絕對可積）。

對於非周期函數，可以將其看成是無窮周期的函數，周期 $2l rightarrow + infty$

引入參量 $omega _k = frac{k pi}{l}, k in N^+$ , $triangle omega_k = frac{pi}{l} rightarrow 0$

傅立葉級數變為積分形式，稱為傅立葉積分，其複數形式為

$f(x)= frac{1}{sqrt{2 pi}}int _{-infty}^{infty}F(omega)e^{i omega x}d omega$

係數 $F(omega)= frac{1}{sqrt{2 pi}} int^{infty}_{-infty}f(x) e^{-i omega x}dx$

即原函數的頻譜（像函數），它表明了組成原函數的各頻率三角函數的「份量」。

進一步地，可以得到關於傅立葉積分的性質，如導數定理、積分定理、相似性定理、延遲定理、位移定理、卷積定理。

還可以推廣到多維度的傅立葉積分。

傅立葉積分在本科物理中具有廣泛的應用，如固體物理中的倒格子空間、晶體X射線衍射、光學濾波系統等等。

參考資料

【1】《數學物理方法》梁昆淼

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