投資組合優化之特徵組合

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作者：Myron 原文鏈接：【Active Portfolio Management】均值方差分析工具之特徵組合（Characteristic Portfolio）

【序言】

《Active Portfolio Management》是很好的一本量化投資學的聖經，它條理、科學的論述了構建投資組合所需要的知識框架並給出了相應的數學分析工具，對於實際的投資有著重要的指導作用。本研究參考《Active Portfolio Management》CAPM章節，介紹一種基於均值方差理論的構建組合權重的有效工具：特徵組合。

資產有很多屬性，例如貝塔、預期收益率、市盈率、市值等,通常我們稱之為因子。每個股票對應於某個屬性都有特定的數值，這個數值我們稱之為股票在這個屬性中的暴露度。從線性空間的角度，屬性即代表了某種維度，而屬性的暴露度就代表了股票在這個維度上的映射數值。
假設我們有一個股票池 stock = [s1,s2,...,sn]，屬性attr = [a1,a2,...,an] 是股票池中的股票對應於因子的暴露度。我們希望根據股票池構建一個投資組合 ptf = [w1,w2,...,wn]，使得ptf對於該屬性的暴露度為1，即： $sum_{i=1}^{n}{a_{i}w_{i} }$ =1。對資產在某個屬性上暴露度做歸一化，能夠有效公平的驗證屬性對於資產盈利的解釋能力。
然而上面的條件會有無窮多解，我們希望構建一個風險最小的組合，同時組合對於屬性attr的暴露度為1，這個組合我們稱之為屬性attr的特徵組合ptfAttr。ptfAttr是基於屬性attr的最小風險組合，它是根據屬性attr投資的最有效組合。通過構建屬性attr的特徵組合，我們也可以驗證某個attr對於資產盈利的解釋能力和產生α的能力。

我們將風險定義為超額收益率的年化標準差，變數聲明如下：
- w：風險資產的頭寸權重，即組合在每隻風險資產上的投資權重；
- V：風險資產超額收益率間的協方差矩陣；
- a：資產的特徵向量
可以將特徵組合求解簡單描述成以下QP問題：

The attribute portfolio is n[[ 0.54439243]n [ 0.35834664]n [ 0.02503472]n [ 0.07222621]]

$e^{T}$ =[1,1,...,1]的特徵組合 $w_{c}$ 稱之為組合C。它被稱為最小方差組合，它的特點是組合C中的所有資產相對於組合C本身的 β=1，它構建一組權重組合使得組合資產在過去收益率的基礎上達到最小的方差，降低資產的波動率。
下例展示了上證50指數成分股的組合C的表現(點擊查看原文代碼)：

特徵組合的表現是基於預期收益率協方差V本身的，與它的計算精度強相關，而V本身的計算又與使用數據的歷史周期有關，使用不同的歷史周期計算得到的結果不同。理論上，使用歷史周期越長，V越准，特徵組合對於β的擬合度越好，相對於基準的殘差波動越小。事實證明的確如此，如下例為利用過去50天數據計算的V的特徵組合的表現，其相對於基準的殘差波動就比上面利用150天的殘差波動大很多（點擊查看原文代碼）。

當我們分析某因子有效性的時候，可以利用股票池針對某特定因子預期收益率的特徵組合來判斷因子的有效性和產生α的能力。
因子的預期收益率因為很難估算，假設針對股票i的某個因子做中性化、歸一化、標準化之後的信號為 $f_{i}$ ,我們默認超額殘差收益率為： $r_{i}$ = $f_{i}$ +c, c為無風險收益率。那麼該因子預期收益率的特徵可寫為：r = [r1,r2,...,rn]。那麼r的特徵組合 $w_{r}$ 便能夠展示因子的盈利特性。

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