2.1 近耦合展開

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怎麼選取子空間呢？最容易想到的是微擾論的套路。一個系統的哈密頓量假設可以拆分成兩個部分

$H = H_0 + H_1$

其中 $H_0$ 不含時且容易解析求得其本徵態和本徵值，常見的情況有

相信上述這些函數曾讓不少人苦惱過，但請珍惜它們吧。目前有詳盡研究的二階常微分方程和其所對應的特殊函數（「詳盡研究」指的是，各種性質基本都能查表），都可以歸結為有五個正則奇點的方程的各種合流形式（可參考王竹溪，特殊函數概論）。一旦涉及到稍複雜的實際問題，會發現這些函數根本不夠用。

有了完備的基函數，下一個問題是如何截斷到有限維。

平面波應該算是非常清楚的基函數了：所取最大動量截斷會導致實空間的最高解析度，所取最小動量間隔導致實空間的最大尺度，故這兩個量可以按需選取；
像厄米多項式和球諧函數這種，我們一般有理由相信體系的能量或角動量最大也只能到那麼大，所以說選取前若干個基函數，截斷比所討論的能量或角動量高一些就成；
庫倫勢所導致的拉蓋爾多項式就麻煩了，它首先不是完備的：必須把那堆可以跑到無窮遠處散射態也拿進來，作一個類似平面波的離散和截斷；然後能量接近於零的那無窮多的基（所謂高里德堡態），一般都選擇截斷丟掉。

截斷到有限維之後，便可以計算矩陣元了。 $H_0$ 已經對角化了，而

$(H_1)_{i,j} = int phi_i^*(mathbf x)H_1phi_j(mathbf x)$

往往也不難計算，因為我們可以查表：

連帶勒讓德多項式的部分遞歸關係。

利用各路正交多項式的遞歸關係，多數情況下都可以將導數算符和坐標算符都表示成帶狀矩陣的形式。對於常見的，由導數算符和坐標算符組合的多項式，自然也是帶狀矩陣。這樣的矩陣處理起來，不管是乘法、求本徵值，都是 $O(n)$ 的複雜度。

這套技術被冠以近耦合(close coupling)之名。

麻煩在於，散射態，沒有這麼好的遞歸關係，這些態間的 $H_1$ 往往都是滿矩陣。這矩陣一滿，啥事都不好辦。

題圖為前10階厄米多項式下的導數算符的矩陣形式。