2. 從希爾伯特空間到有限維線性空間

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讓電腦算東西，一定要注意一點，它只能處理有限和離散的東西（什麼你說符號計算？那東西能做的事情，查數學手冊全都能解決。）。

薛定諤方程討論的是無窮維的希爾伯特空間中一個向量的演化，這離散是離散了，但無窮卻是惱人的事情。為了能處理這個問題，多數時候我們總假定波函數總是幾乎全呆在一個有限維的子空間中（即，波函數向該子空間的投影之模充分接近於1），然後我們就可以在這個子空間里去處理問題了。

設若我們找到了一個恰當的子空間，由向量組 ${phi_i(mathbf x)}$ 張成，其不一定正交歸一，而由如下交疊矩陣描述

$S_{i,j} equiv int phi_i^*(mathbf x) phi_j(mathbf x) ,mathrm d mathbf x,$

波函數用該組向量近似展開

$psi(mathbf x,t) approx sum_i a_i(t)phi_i(mathbf x).$

對於薛定諤方程

$mathrm i partial_t psi = H psi,$

將展開式帶入，並在等式兩邊左乘 $phi_i^*(mathbf x)$ 取積分，得到

$mathrm i sum_j S_{i,j} dot a_j(t) = sum_j H_{i,j} a_j(t),$

其中哈密頓矩陣

$H_{i,j} equiv int phi_i (mathbf x)^* H phi_j(mathbf x) ,mathrm d mathbf x$

可能依賴於時間。

這樣問題就化作了上述常微分方程組的求解，而這一部分將在第三章中闡述。

另一個問題在於，為了描述有限維線性空間中的一個矢量，我們需要一串有序實數。實踐表明，用雙精度浮點數來近似代表實數一般是可行的。

好的，子空間怎麼取？這就是本章的內容。

題圖摘自 D. Baye / Physics Reports 565 (2015) 1–107 ，是為了檢驗不同離散薛定諤方程方法的正確性，對諧振子問題前八個本徵能量做的計算比對。