[數據分析與可視化 11] 特徵值和特徵向量的幾何直觀

02-01

特徵值和特徵向量具體是在幹什麼呢？

一、定義

Ax=cx，x是特徵向量，c是特徵值。

二、解釋：矩陣乘向量

代數上的意義是：線性方程組（特徵方程）Ax-cx=0有解，稍稍延伸為：求出的結果向量可由x表示。我們教科書一般講到此為止，但這一點在理解接受概念時反而不重要。
幾何上的意義是：MIT老師的講法，矩陣乘向量Ax，就像A輸入向量x，結果得到向量Ax；微積分的函數表示作用在x上，得到f(x)，此處也相似。Ax平行於x，即為特徵向量。
再換一個說法：Ax其實是對x進行空間變換，具體為對x向量的旋轉或拉伸。當存在Ax=cx時，結果和原x同方向，即旋轉角度為0，長度為c倍。大於1即為拉伸，小於1即為壓縮。以上是c為實數的情況，當c為虛數時，左乘向量則同時執行伸縮與旋轉，只是旋轉方向為180度，掉頭。
當A為實對稱矩陣時，其特徵向量則為一組標準正交基向量，特徵值為該矩陣在各個方向的長度/坐標。

P.S

這個問題我自己想了很久，問了不少身邊人，都不能給我滿意的答覆。我甚至懷疑我是在提正確的問題，還是在鑽牛角尖。直到我找到一本神奇的書，以及知乎上同樣思考著這樣問題的人，才覺得自己不是異類，而且極大的可能，在太平洋的另一端思考這個問題的人是主流。

結論是我忍不住吐槽我們大學的教材，差距如此之大，為什麼要出版呢？扼殺了一批批學生的興趣。

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