地震力到底是怎麼算出來的？[Part.7]

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對於我們的三層房子，我們用求質量矩陣和剛度矩陣的特徵值的方法得出了房子的自振頻率，進而確定了房子的自振周期。

質量矩陣和剛度矩陣的意思，我們前面已經說過了。這兩個矩陣的特徵值再開方，就是自振頻率。同時，我們還得出了這兩個矩陣的特徵矩陣。那麼自振周期和特徵矩陣有什麼進一步的用處呢？

注意到，通過等比例縮放特徵矩陣的列，我們使得特徵矩陣的第三行值都是1。這個特徵矩陣是什麼意思呢？

如果我們取特徵矩陣的任意不相同的兩列，比如第一列和第二列，第二列和第三列，其中之一轉置之後，乘以質量矩陣或者剛度矩陣，再乘以剩下的那一列，那麼結果都是0。

只有當我們取同樣的列的時候，比如第一列的轉置，乘以質量矩陣，再乘以第一列，這時候結果才不為0。

這也就是正交的概念，所謂的 orthogonality。把特徵矩陣的轉置，乘以質量矩陣或者剛度矩陣，再乘以特徵矩陣，我們就能得到 principal 質量矩陣或者剛度矩陣。

換言之，特徵矩陣可以幫助我們把這個三層房子的各種可能的位移模式，變成三個基本位移模式的疊加，這三個基本的位移模式，也就是所謂的振型。

三乘以三的特徵矩陣，第一行代表第一層，第二行代表第二層……而第一列代表第一振型，第二列代表第二振型……

對應於特徵矩陣，我們就得到了三層房子的三種振型。

三種振型下三個樓層的相對位移，就對應著三乘三的特徵矩陣里的九個數值。這就是這個三層房子的三種基本振動模式，任何可能的變形模式都能表示成這三種振型的疊加。

比如說，房子的振動模式是一層位移0.3、二層位移0.5、三層位移1，換言之，還是變形金剛推房子，一層推到位移為0.3，二層的位移為0.5，三層的位移為1，然後三個變形金剛一起鬆手，讓房子自由振動。那麼這種變形其實等於0.833倍的第一振型，加上0.122倍的第二振型，再加上0.045倍的第三振型。

第一振型的0.445、0.802、1，乘以0.833後等於0.371、0.668、0.833；同樣，第二振型乘以0.122，得到-0.152、-0.068、0.122；第三振型乘以0.045，得到0.081、-0.101、0.081。把每個振型的第一層加起來，也就是0.371加-0.152加0.081，就等於0.3。同樣，三個振型的二層加起來，等於0.5；三個振型的三層加起來，等於1。

也就是說，這其實是一個三元一次方程組。我們把0.3、0.5、1這組值轉化成了三個基本振型的線性疊加。

同樣的道理，任意的位移模式都可以轉化為三個振型的疊加。比如-1、-0.5、1這組位移，其實等於0.084倍第一振型，加0.882倍第二振型，再加上0.035倍第三振型。

我們可以對比一下上面的這兩個例子。雖然都是由三種振型疊加而成，但這三種振型占的份額並不相同。第一個例子里第一振型佔了絕大部分份額，而第二個例子里則是第二振型起到了主導作用。這是因為，我們的第一個例子的振動模式非常接近於第一振型，而第二個例子的振動模式則是接近於第二振型。

我們還可以舉更加隨機的例子，比如三個樓層的位移為1、-1、1，這時候可以說第三振型佔了很大一部分，但第一振型的貢獻也不能忽略。

到現在為止，通過特徵矩陣和基本振型，我們已經可以把三個樓層任意的位移分解成三種振型的疊加了。這又有什麼用呢？和地震有什麼關係呢？

現在我們需要一點逆向思維了。已知房子的位移，我可以用這種方法轉化成三種振型的疊加。但我們實際上並不知道地震下房子的位移。反過來想，如果我們能求出地震下每一種基本振型的位移，再把它們按一定的係數合理的疊加起來，不就能得到地震下整個房子的位移情況嗎？

比如說，如果我知道某個地震作用下，第一振型對應的位移是0.371、0.668、0.833，第二振型對應的是……那我把這三種振型疊加起來，我就能知道房子在地震下的位移是0.3、0.5、1。換言之，只要我知道 0.833、0.122、0.045 這一組疊加係數，我就能求出 0.3、0.5、1 這一組位移模式。這也就是振型分解法的基本思路。

問題又來了，如何知道這三種振型在地震下的位移是多少呢？如何知道每種振型佔多大的份額呢？怎麼確定振型的疊加係數呢？眾位看官，且聽我們下回分解。