外代數的楔積之間的內積到底怎麼算？

01-31

看到好多書上有如下公式
$langle u_1wedgeldotswedge u_k,v_1wedgeldotswedge v_k angle =detleft(langle u_i,v_j angle ight)$
可是這跟按照定義算有點不一樣，比如我們要計算 $langle e^1wedge e^2,e_1wedge e_2 angle$ ，其中 $e_1,e_2$ 是正交基， $e^1,e^2$ 是與 $e_1,e_2$ 對偶的正交基。

按照上述公式，有
$langle e^1wedge e^2,e_1wedge e_2 angle=detleft(I_{2 imes2} ight)=1$
然而按照定義，我們有
$langle e^1wedge e^2,e_1wedge e_2 angle\ =langle e^1otimes e^2-e^2otimes e^1,e_1otimes e_2-e_2otimes e_1 angle\ =langle e^1otimes e^2,e_1otimes e_2 angle-langle e^1otimes e^2,e_2otimes e_1 angle\ -langle e^2otimes e^1,e_1otimes e_2 angle+langle e^2otimes e^1,e_2otimes e_1 angle\ =1-0-0+1\ =2$

到底是怎麼回事兒？？

摘自陳省身微分幾何講義

注

2.17式指 $left<v_1otimesldotsotimes v_r, v^1otimesldotsotimes v^n ight>=left<v_1,v^1 ight>ldotsleft<v_r,v^r ight>$

3.15式指問題描述的第一個式子

在2.17式已定義張量空間的配合，誘導出外代數空間的配合，但是這與3.15式所定義的配合差一個因子r！。所以對張量空間和外代數空間分別定義了配合，其原因是為了在各自的配合下彼此對偶的基底具有簡單的形狀，避免多餘的因子。儘管我們用同一個記號表示不同的配合，只要注意到所處理的是哪種空間，是不會產生混淆的。

大神早已看透了一切orz