如何理解泊松分布三分鐘一次和十五分鐘五次概率不一樣？

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比如櫃檯接待人數符合泊松分布，那麼在三分鐘內出現一個顧客的概率和十五分鐘出現5個的概率為什麼不一樣？
換句話說，為什麼泊松分布的概率於時間間隔的長度相關？
假設15分鐘平均到達15個人，f(x)=15^x*e^(-15)/x! ; f(5)=15^5*e^(-15)/5!=0.001936;

那麼3分鐘平均到達3人， f(x)=3^x*e^(-3)/x! ; f(1)=3^1*e^(-3)/1!=0.14936

題主你好，這個問題很好，來自生活。生活中的直觀感覺告訴我們，這兩個概率應該是一樣的。但是事實真的是這樣嗎？

什麼是泊松分布呢？下面是來自維基百科的描述。

泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布。如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數、DNA序列的變異數、放射性原子核的衰變數等等。

泊松分布的概率質量函數為：
$P(X=k) = frac{e^{-lambda} lambda ^ k}{ k!}, quad k = 0,1,2...$
泊松分布的參數λ是單位時間（或單位面積）內隨機事件的平均發生率。

也就是說，這裡的參數 $lambda$ 並不是時長，而是單位時間內發生的次數，即平均發生率。在這裡，如果說是15個時間內平均發生5次或是3個時間內平均發生1次，都是說平均發生 $frac{1}{3}$ 次。如果這樣，這裡 $lambda = {1over 3}.$

現在問題是這樣的，假設單位時間 $t$ 內到達率為 $lambda$ , 考慮下面兩個事件：

$A= { 5 ext{ arrivals in 15}t },\ B= {1 ext{ arrival in 3}t}.$

這裡 $t$ 是單位時間。這個時候應該用泊松過程來解釋這個現象。

在區間 $[t,t+ au]$ 內發生的事件的數目的概率分布為： $egin{equation*} P(N(t+ au) - N(t) = k) = {e^{-lambda au} (lambda au)^kover k!}, quad k=0,1,2... end{equation*}$

其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定在時間區間 $[t,t+ au]$ 之中事件發生的數目，則隨機變數 $N(t+ au) - N(t)$ 呈現泊松分布，其參數為 $lambda au$ .

如果現在令 $lambda = 1$ , 那麼剛好就是題主在問題里所說的那樣，二者概率是不一樣的。那麼為什麼會有這樣的現象呢？我們知道，泊松過程是一個平穩獨立的過程。設

$B_1 = { ext{exactly }1 ext{ arrival in }[0,3t]},\ B_2 = { ext{exactly }1 ext{ arrival in }(3t,6t]},\ cdots\ B_5 = { ext{exactly }1 ext{ arrival in }(12t,15t]},$

那麼這些事件是獨立的，並且每個概率都等於 $B$ 的概率，並且

$cap B_i subset A$ , 即是

$[P(cap B_i) = prod P(B_i) = P(B)^5 leq P(A).]$

上面這個雖然是一個不等式，但是已經在數量級上說明一些問題，即是這二者並不相等。（但是應用集合論，我們可以寫出 $P(A)$ 到底等於什麼。這裡就不再詳述。）我們所理解的「相等」，是平均發生率的相等，即是 $lambda$ 的相等。類似的，我們拿投硬幣來舉例，扔2次硬幣有1次正面朝上的概率跟扔100次有50次正面朝上的概率一樣嗎？

對應你的這個問題，十五分鐘五次只有在每三分鐘一次的時候，才會和三分鐘一次一樣。而這樣就又加了一個條件，屬於另一個條件概率了。from我的天才同學