二值期權 (binary option) 在執行價附近的 Delta 該如何計算或估算？

02-01

在行權價附近存在斷點，是不是只能靠交易員經驗了？

這個點會出現很大的delta和gamma的波動，給對沖帶來困難。所以從風險控制角度講，binary option都是book成call spread. 可以進行完全的對沖（over hedge) 假設你long一個binary option, 為了保證conservative, book成在strike price 買入call option, 在 strike+10bps 賣出call option. option的size取決於binary option的payoff.

沒見過直接用N(d2)的，

首先，先看一眼Binary的delta式子，其實是close-form的：

然後......你會發現其實如果離到期日夠遠，S=K從來就不是問題，問題只存在於離到期日很近的期權，這時候你的delta就blow up。

那麼如果到期日不遠了，delta波動很大咋辦。樓上有人說了call spread，我這裡給寫具體解釋：

首先，你要知道，binary的payoff其實就是個heaviside function，你需要的就是「軟化」這個在K上有jump的function。以binary call為例，很簡單的做法就是我在K兩邊取個等距interval，距離K都是delta，那麼這個binary的payoff其實就是long一個執行價為K-delta的call，short一個K+delta的call，然後你就把這個heaviside function近似的replicate出來了。式子其實就是

binary option在strike附近的delta可能會很大，尤其是接近maturity的時候。一般交易員（我assume你在說的是sell side的hedging）在計算greeks的時候都不會去通過BS close form計算，因為大多數情況下都是沒有吃咯說form的。instead他們只會run simulation來計算（簡單粗暴且準確）。在hedge binary/digital的時候，他們也不會考慮過多delta gamma啥的，而是用call/put spread或其他場內binary option來hedge，同時每天監控自己的greeks PnL。在hedge時他們會考慮標的資產的MaxDelta 以及使用barrier shift去給自己留足margin從而保證有極大概率在該deal上賺錢。

直接按價差期權來對沖

瞎猜一個。

Binary的payoff就是European payoff的斜率，所以它的值應該和對應的bs delta差不多。我記得close form似乎是一樣。這樣binary 的delta應該就是對應的bs gamma了。

非常贊同Liu JT的發言。結合Lagrelax的回答，Binary的payoff和歐式期權payoff的斜率一樣。利用這個性質，Binary option的價值可以用

{Call(K+dK)-Call(K-dK)}/2dK

來近似。（K是strike price，dK是很小的）

因此，如果交易員賣出了一個Binary Call，他會買入和賣出在該Binary option 的Strike Price附近的兩個Call Option來做對沖，讓dK＝0.1，他就要買入和賣出各20份歐式期權才能對沖，因此Binary Option的對沖是很貴的。。。

歡迎拍磚。