資產價格符合幾何布朗運動和符合泊松過程時，如何建立其期權價格的風險中性測度？

02-02

知道知乎上做金工的比較多，與各位討論。

Delta Hedging

市場中性原則建立另外的一套股票（期權對應的股票）與現金組合

使得同時持有的股票現金與期權組合整體與股票漲跌無關做到市場中性

這個是標準答案要是還想了解什麼接著問

這是一個基礎的問題，專業人士肯定都不願意回答，本菜鳥在這裡就當梳理一下知識點。

首先，很多人在系統學習等價鞅測度(equivalent martingale measure),Girsanov theorem, Radon-Nikodym derivative等等這些概念就已經在用風險中性定價了，是怎麼做的呢？二叉樹！所以我們先用二叉樹簡單闡述一下如何實現風險中性以及定價。

比如以幾何布朗運動(GBM)為例，在經典的歐式期權定價中，我們把股票價格寫為服從漂移率為 $mu$ ，方差率為 $sigma$ 的幾何布朗運動，也就是說 $S_t=S_0e^{mu t+sigma W_t}=S_0e^{mu t+sigma sqrt{t}Z}$ ，其中 $W_t$ 是標準布朗運動(SBM)。在使用二叉樹來模擬上述布朗運動時，我們是這麼處理的(下圖直接引用Baxton書中內容)

而什麼叫風險中性測度即Q測度呢？在之後我們會給出嚴格的定義，而此處我們僅僅講一下二叉樹模型下怎樣構建風險中性測度，

也就是說，原本進行模擬時，P測度下向上漂移的概率為1/2，變成了現在Q測度下的 $q=frac{e^{rdelta t}S_{now}-S_{down}}{S_{up}-S_{down}}$ ，而所需要複製期權的股票和債券所佔的比例分別是上圖中所提到的 $phi,psi$ 。具體而言，

通過上面的過程，我們終於實現了將原本P測度下，服從漂移率為 $mu$ ，方差率為 $sigma$ 的幾何布朗運動，變成了在Q測度下方差率不變，而漂移率為r而方差率不變的幾何布朗運動。二叉樹模型所描述的離散情況僅僅是為了幫助理解，那麼嚴格的定義和做法是怎樣的呢？

下面分割線之間的內容可以直接跳過，僅僅是為了Girsanov定理做鋪墊

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首先，定義如下的函數族和Ito integral

定義martingale，即鞅過程

我們需要知道Ito integral的性質，即Ito integral是鞅，而鞅表示定理又告訴我們，鞅一定可以表示為Ito integral。下面定義Ito process,

還有一些其他的準備工作，包括absolute continuity of measures, Radon-Nikodym theorem

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這些準備工作完成之後，就要介紹有關風險中性定價最直接相關也是最重要的定理之一，Girsanov 定理，

利用上面的定理，對於最初定義的幾何布朗運動，我們只要構造如下的隨機過程:

$dW_t^*=dfrac{mu-r}{sigma}dt+dW_t$ ，令 $heta=frac{mu-r}{sigma}$ ，這時 $M_t=expiggl(-int_0^t heta dB_s-dfrac{1}{2}int_0^t heta^2dsiggr);qquad 0leqslant tleqslant T$

所以 $W_t^*$ 在經過Girsanov測度變換後的測度Q下是鞅且是標準的Brownian motion，對於這一點的證明既可以利用矩母函數，即證 $E_{mathbb{Q}}(exp(uW^*_T))=exp(frac{1}{2}u^2T)$ ，見Financial Calculus P63。還可以用特徵函數，見隨機波動性金融市場衍生品，即證明 $E_{mathbb{Q}}(exp(iuW^*_T))=exp(-frac{1}{2}u^2T)$ 。而原本的股價在Q測度下，漂移率變為了r，方差率保持不變。這時，期權價格為

$P(t,x)=E{e^{-r(T-t)}h(X_T)|X_t=x}$

解一下上面的積分，最後的公式大家都知道。

(PS:文中截圖有些直接來自於下面的書中內容，有些來自於個人整理)

參考文獻：

1.Financial Calculus Martin Baxter, Andrew Rennie

2.Stochastic Differential Equations Bernt ?ksendal

3.Derivatives in Financial Markets with Stochasic Volatility Fouque.J.

關於離散和連續部分，其實Financial Calculus Martin Baxter, Andrew Rennie已經闡述地很清楚了，這裡再貼上幾張相關的圖，

離散情形下的測度變換--Radon-Nikodym導數。考慮下圖的兩步隨機遊走:

僅僅討論下。利用風險中性原理是基於在風險中性情況下，即只考慮在無風險利率或者無風險收益率的情況下，給出衍生產品的定價。風險中性定價（Risk Neutral Valuation）是利用風險中性假設的分析方法進行金融產品的定價，其核心是構造出風險中性概率。而現實是有很多的投資是投機性的，所以在流通過程中或者隨著時間的推移，很多衍生產品的價格往往背離了風險中性定價原理，也就是某個衍生品的現實價格與基於風險中性定價原理算出的價格不一樣。再者，即使是利用風險中性定價原理，可是BS公式中的無風險利率由於選擇的模型不同，最終的價格也是不一樣的。用一個自融資的策略去複製一個期權，能後完美複製，那麼期權價格就是自融資的初值價值，所以我們有一個PDE，發現這個PDE里和股票的回報率沒關係，通過對改PDE的變形，發現如果我們將股票的價格的收益率換成利率的話，是一樣的，Thanks to 測度變換，我們說換個測度，換個布朗運動，也可以，這個測度就是風險中性，由於回報率是利率，所以折現價格是martingale。從maringale的角度看，martingale可以被表示定理表示出來（有條件），所以如果在某側測度下，你把某種形式的股票價格變成maringale，你就可以複製，發現，折現的股票價格在風險中性概率下，是個martingale，就可以複製了。我們可以選擇任意的numeraire，不一定是折現，任何一個numeraire都對應一個概率，使得在這個概率下，用這個numeraire折現的股價是martingale，進而可以複製，定價。特殊的，風險中性的numeraire就是用zero coupon折現的。當然我們也可以在實際的概率下定價，只是要換一下numeraire，這個numeraire就是market numeraire，只是這樣算起來麻煩，沒人這樣算。

基本問題還是多搜索一下比較好

維基百科：Risk-neutral measure

Example 2 — Brownian motion model of stock prices

關鍵點：根據鞅的定義找出複製策略~

Bakshi, Cao and Chen 1997. 留個小任務，裡面的Chen你造是誰么